МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Взаємне розташування прямої та площини.Розглянемо основні задачі про взаємне розташування прямої та площини.
Використаємо рівняння прямої у параметричній формі (1) та підставимо їх у рівняння площини. Таким чином з’ясуємо, при якому значенні параметру має місце перетин прямої з площиною. Визначивши таким чином коефіцієнт , знайдемо координати точки перетину прямої та площини. Приклад 4. Знайти точку перетину прямої з площиною . Підставимо параметричні рівняння прямої у рівняння площини: , звідки . Отже, – точка перетину даної прямої з площиною.
Неважко зрозуміти, що або , де – це кут між нормаллю площини та напрямним вектором прямої. Тому . Пряма та площина паралельні, коли , а перпендикулярні – при , тобто . Приклад 5. Знайти кут між прямою та площиною . Тут – напрямний вектор прямої, а – нормаль площини. Тоді
Для того, щоб пряма лежала у площині необхідно і достатньо виконання двох умов: пряма паралельна площині і одна точка прямої належить площині. Запишемо ці умови аналітично: .
Переконайтесь самостійно, що умова перетину двох непаралельних прямих еквівалентна умові компланарності векторів , та , де та .
Приклад 6. Знайти точку, симетричну точці відносно площини . Опустимо перпендикуляр із точки на площину та знайдемо точку перетину його з площиною. Точка буде серединою відрізку , де – шукана симетрична точка. Отже, перпендикуляр має проходити через точку , а його напрямним вектором буде нормаль заданої площини. Таким чином одержимо рівняння цього перпендикуляра: . Точку знайдемо, як описано в прикладі 4: . Далі, оскільки точка – середина відрізку , то її координати є напівсумою відповідних координат точок та , звідки й знаходимо .
Приклад 7. Знайти відстань точки від прямої . Побудуємо площину, що проходить через точку перпендикулярно до заданої прямої: , або . Відшукаємо точку перетину цієї площини із заданою прямою: . Шукана відстань дорівнює довжині відрізку : .
Приклад 9. Знайти найкоротшу відстань між двома мимобіжними прямими та . Побудуємо площину , якій належить одна з прямих, приміром, , паралельну до іншої – . Тоді шукана відстань буде відстанню від довільної точки прямої (нам відома одна з її точок – точка ) до площини . Позначимо напрямні вектори заданих прямих відповідно та , відому точку на – . Нехай буде довільна точка на шуканій площині . Для визначення рівняння площини використаємо компланарність векторів , та : , звідки одержимо рівняння площини . Нормальне рівняння цієї площини матиме вигляд , тому . Другий спосіб: , вектор буде ортогональним до обох прямих, тоді .
Переконайтесь, що шукана пряма є лінією перетину двох площин: перша проходить через першу пряму паралельно вектору (тут – напрямні вектори заданих прямих), а друга площина – через другу пряму паралельно вектору . Приклад 10. Записати рівняння спільного перпендикуляру до прямих та ; обчислити відстань між прямими та знайти точки перетину з ними спільного перпендикуляру. Пряма, що визначає спільний перпендикуляр двох мимобіжних прямих, буде лінією перетину двох площин. Кожна з них має проходити через одну із заданих прямих, перпендикулярно до іншої. Знайдемо напрямний вектор цієї прямої: . Оскільки ми плануємо визначати рівняння площин, що проходить через кожну з прямих та , запишемо рівняння цих прямих як лінію перетину площин, щоб використати потім рівняння пучка площин. Для прямої маємо: та . Для прямої відповідно та . Рівняння пучка площин з віссю буде таким: , тоді для нормалі площини з цього пучка запишемо умову ортогональності з вектором : (нагадаємо, що ця площина проходить через пряму паралельно до вектора ). Отже, знайдемо , тому шукана площина задається рівнянням . Аналогічно, пучок з віссю описується рівнянням , , , звідки , тому для другої площини маємо рівняння . Таким чином, спільний перпендикуляр до прямих та задається рівняннями , . Щоб знайти точку перетину спільного перпендикуляру з кожною з прямих , , підставимо параметричні рівняння прямих у рівняння спільного перпендикуляру. Неважко визначити, що цими точками будуть точки та . Знайдемо відстань між ними .
Читайте також:
|
||||||||
|