Шістнадцяткова система числення

Двійкова система числення

Будь-яке число у двійковій системі числення записується у вигляді певної послідовності нулів та одиниць. Додавання однорозрядних двійкових чисел здійснюється за такими правилами:
0+0 = 0; 0+1 = 1+0 =1; 1+1 = 10 (одиниця переноситься в старший розряд).
З урахуванням цих правил арифметичні операції над двійковими числами (додавання, віднімання, множення, ділення) здійснюються аналогічно до звичних десяткових операцій. Наведемо в загальних рисах правила переведення чисел з двійкової системи до десяткової і навпаки (нагадаємо, що ми розглядаємо лише цілі числа).
Алгоритм переведення чисел з двійкової системи до десяткової безпосередньо спирається на визначення позиційної системи числення. Всі розряди домножуються на відповідні ступені двійки (крайній спава - на 1, наступний - на 2 і т.д), після чого отримані добутки додаються за правилами десятковоїсистеми.

Приклад.
(101011)2 = 1+ 2*1 + 4*0 + 8*1 + 16* 0 + 32*1 = 43.

Переведення цілого числа з десяткової системи числення до двійкової здійснюється шляхом його послідовного цілочисельного ділення на 2, поки в частці не вийде 0. Остачі від ділень, якщо їх прочитати справа наліво, утворюють число в двійковій системі (перша остача записується в молодший, тобто крайній справа, розряд, друга - в наступний за ним і т.д).Спробуйте самостійно перевести за наведеним алгоритмом десяткове число 43 до двійкової системи числення.

Двійкове подання чисел є надто громіздким. Так, ми бачили, що для запису десяткового числа 43 потрібно аж 6 двійкових розрядів. Тому в програмуванні і в комп’ютерній літературі широко використовується шістнадцяткова система числення - позиційна система числення за основою 16. Оскільки 16 = 24, переведення чисел з двійкової системи до шістнадцяткової спрощується: одній шістнадцятковій цифрі відповідає чотири двійкових розряди, причому ця відповідність є взаємно однозначною.Десятковим числам від 0 до 9 відповідають такі самі шістнадцяткові цифри. Дворозрядне десяткове число 10 позначається однією шістнадцятковою цифрою зі значенням A, 11 - B, 12 - C, 13 - D, 14 - E, 15 - F.

Приклади.

(25)₁₆ = 5 + 2*16 = 37.
(С3)₁₆ = 3 + 12*16 = 3 + 192 = 197.

Зображення чисел у комп'ютері

У сучасних комп'ютерах здебільшого застосовуються два формата зображення чисел: числа з фіксованою комою і числа з плаваючою комою (fixed point, floating point). Перша з них дістала назву природної (або натуральної), друга -нормальної (експоненціальної, логарифмічної або так званого наукового запису).

Число з фіксованою комою — це формат зображення числа з незмінним розташуванням коми, що відокремлює цілу частину числа від дробової. Числа у такому форматі записуються

Розряд коду числа, в якому вказується знак, називається знаковим, а розряди, де знаходяться значущі цифри, називаються цифровими розрядами коду. Знаковий розряд дорівнює 0 для додатних чисел, та 1 — для від'ємних. Положення коми відносно розрядів числа фіксується й у процесі обчислень не змінюється. В самому коді числа кома фізично ніяк не вказується, вона лише «мається на увазі».

Використання чисел у форматі з фіксованою комою значно спрощує апаратну реалізацію арифметико-логічного пристрою комп'ютера і зменшує час виконання машинних команд.

Числа з плаваючою комою. У прикладних задачах програмістам досить часто доводиться оперувати дуже великими або дуже маленькими дійсними числами, наприклад такими, як маса Сонця, що складає 2х10³⁰ кг, або маса електрона, яка становить 9х10~²⁸ г. Записати в пам'ять подібні числа, враховуючи всі значущі цифри, і виконати над ними арифметичні операції, використовуючи арифметику з фіксованою комою, неможливо. У цьому разі для запису чисел використовується формат із плаваючою комою, коли кожне число розбивається на дві групи цифр. Перша група цифр називається мантисою, друга — порядком. Число записується у вигляді добутку.

Тут Y — значення дійсного числа; М — мантиса числа; S — основа системи числення; р — порядок числа.

Мантиса (дріб зі знаком) і порядок (ціле число зі знаком) зображуються в системі числення з основою S. Знак числа збігається зі знаком мантиси. Порядок р є додатним або від'ємним цілим числом і визначає положення коми в числі Y. Таким чином, у мантисі зберігаються значущі цифри числа, а порядок визначає його величину.

Для збільшення кількості значущих цифр у зображенні дійсного числа і запобігання переповненню при виконанні арифметичних операцій мантису нормалізують. Це означає, що мантиса будь-якого числа, зображеного у форматі з плаваючою комою, має починатися з одиниці у двійковій системі числення. Наведений метод нормалізації є класичним, при якому результат нормалізації зображується у вигляді правильного дробу, тобто з одиницею після коми і нулем у цілій частині числа (розглядається двійкова система).

Точність обчислень при використанні чисел із плаваючою комою визначається кількістю розрядів мантиси, тобто числом достовірних десяткових цифр.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Поняття про позиційні системи числення	\|	Програмне забезпечення

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.