МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Загальний метод введення параметра.
Розглянемо Д.Р. (5.1). Припустимо, що воно допускає параметризацію (5.18) Так, що при всіх значеннях параметрів і . Використовуючи (5.18) і співвідношення ми з Д.Р. (5.1) завжди зможемо привести до Д.Р., яке розв'язане Відносно похідної. Тому Візьмемо, наприклад, за незалежну змінну, – за залежну, тоді прийдемо до Д.Р. (5.19) Якщо (5.20) – загальний розв'язок Д.Р. (5.19), то загальний розв'язок Д.Р. (5.1) можна отримати в параметричній формі. (5.21) Розглянемо деякі частинні випадки: А. Д.Р., розв'язані віднлсносно шуканої функції. Це рівняння має вигляд (5.22) За параметри і можна взяти і . Позначимо , тоді (5.23) Маємо Звідки (5.24) Нехай – загальний розв'язок Д.Р. (5.24), тоді – загальний розв'язок Д.Р. (5.22). Д.Р. (5.24) може мати особливий розв'язок , тоді Д.Р. (5.22) може мати особливий розв'язок . Б. Випадок, коли Д.Р. розв'язане відносно незалежної змінної. Це рівняння має вигляд (5.25) Інтегрується воно аналогічно Д.Р. (5.22). Покладемо . Тоді Використовуючи співвідношення , отримаємо (5.26) Якщо – загальний інтеграл Д.Р. (5.26), то (5.27) загальний інтеграл Д.Р. (5.25). Якщо – особливий рощзв'язок Д.Р.(5.26), то -може бути особливим розв'язком Д.Р. (5.25). Розглянемо тепер більш прості випадки, коли рівняння можна проінтегрувати. В. Рівняння Лагранжа. Це рівняння має вигляд (5.28) Воно інтегрується в квадратурах. Покладемо . Тоді (5.29) З (5.29) маємо (5.30) Д.Р. (5.30) лінійне по (5.31) Нехай – розв'язок Д.Р. (5.31). Тоді загальний розв'язок рівняння Лагранжа запишемо в параметричній формі (5.32) Особливі розв'язки можуть бути там, де (5.33) тобто (5.34), де – корені рівняння (5.33).Розв'язок (5.34) може бути частинним або особливим. Г. Рівняння Клеро. Це рівняння – частинний випадок рівняння Лагранжа, коли . (5.35) Покладемо , тоді (5.36) Використовуючи , отримаємо (5.37) Рівняння (5.37) розпадається на два (5.38) Перше рівняння дає , підставляючи яке в (5.35) будемо мати загальний розав’язок (5.39) Друге - , разом з (5.35) утворює параметричні розв’язкі (5.40) Розв’язок (5.40) являється особливим, так як він співпадає з _______. Дійсно звідки (5.41) Дискримінантна крива (3.41) співпадає з розв’язком (3.40). Приклад 5.3. Розв’язати рівняння Лагранжа. Покладемо . Маємо , , Отримали лінійне рівняння Його розв’язок (5.42) (5.43) загальний розв’язок нашого рівняння в параметричній формі. Або, виключаючи : (5.44) Знайдемо ті розв’язки, яким відповідають Перший розв’язок – офівфісобливий, другий – частинний. Приклад 5.4. Це рівняння Клеро. Його загальний розв’язок – Запишемо дискримінантну криву Звідки - особливий розв’язок, так як через цей розв’язок проходить ще розв’язок, який міститься в загальному при .
5.4. Неповні рівняння.
а). Д.Р. які містять тільки похідну. Це рівняння вигляду (5.45) Рівняння (5.45) може мати скінчену або нескінчену кількість дійсних розв’язків. (5.46) де – деякі числа, задовільняючі функцію . Інтегруємо (5.46) (5.47) Так як то (5.48) загальний інтеграл Д.Р. (5.45). Таким чином при таких припущеннях Д.Р. (5.45) є системою прямих ліній, які можна записати у вигляді (5.48). При цьому в (5.48) можуть входити комплексні розв’язки Д.Р. Приклад 5.5. Розв’язати . Згідно (5.48) – загальний інтеграл. Однак у нього крім дійсного розв’язку , входять розв’язки комплексного Д.Р. б) Д.Р., які не містять шуканої функції мають вигляд (5.49) Якщо (5.49) можна розв’язати відносно похідної (5.50) то (5.51) являється загальним інтегралом Д.Р. (5.49). Якщо ж розв’язати відносно не можна, а допускається параметризація (5.52) тобто (5.53) Тоді загальний розв’язок знаходять в параметричній формі (5.54) Якщо Д.Р. (5.49) має вигляд (5.55) тоді це рівняння легко параметризується .В частинному випадку . Загальний розв’язок запишеться в формі (5.56) Приклад 5.6. Зайти загальний розв’язок рівняння . Вводимо параметризацію . , , Маємо Загальний розв’язок в параметричній формі. в) Д.Р., які не містятьнезалежної змінної. Це рівняння вигляду (5.57) Якщо рівняння (5.57) розв’язане відносно , тобто (5.58) то (5.59) Являється загальним інтегралом Д.Р. (5.57). Особливими розв’язками можуть бути криві , де – корені рівняння (або ). Якщо Д.Р. (5.57) не можна розв’язати відносно , але воно допускає параметризацію (5.60) то (5.61) Загальний розв’язок Д.Р. (5.57) в параметричній формі. Приклад 5.7. Розв’язати . Введемо параметризацію . звідки зашальний розв’язок нашого рівняння. г) Узагальнено однорідні рівняння. Д.Р. назвемо узагальнено однорідним, якщо ліва частина являється однорідною функцією аргументів , яким відповідають величини -го, -го і виміру, тобто (5.62) Зробимо заміну (5.63) де – нова незалежна змінна,– нова шукана функція. Маємо тобто . З іншої сторони (5.64) Підставимо (5.63),(5.64) в Д.Р. (5.1) отримане рівняння (5.65) не містить незалежної змінної . Читайте також:
|
||||||||
|