Однобічні границі функції однієї зміної

Критерій існування границі функції

Границя функції і арифметичні операції

Теорема 3. Нехай для функцій і : , . Тоді

1. ;

2. ;

3. .

Доказтеореми витікає з аналогічної теореми для послідовностей і визначення границі функції за Гєйне. Доведемо для прикладу пункт 2.

Оскільки за умовою теореми , , то за визначенням границі функції за Гєйне це буде означати, що для , для якої виконуються умови:

1) для ;

відповідні послідовності значень функцій і є збіжними і , а . Оскількі і - збіжні, то за теоремою 6 лекції 2 послідовність також буде збіжною і .

Ми отримали, що що для , для якої виконуються умови 1,2, відповідна послідовність значень є збіжною і . За визначенням границі функції за Гєйне з цього витікає, що , що й потрібно було довести.

Визначення 4. Кажуть, що функція задовольняє умові Коші в точці , якщо для таке, що для виконується нерівність:

Геометрично умова Коші для в точці означає, що яким би малим не було число , завжди можна знайти такий окіл точки , що для аргументів з цього околу відстань між відповідними значеннями функції буде меншою за .

Умова Коші для функції в точці є аналогом фундаментальності для числової послідовності.

Теорема 4 (критерій Коші збіжності функції в точці). Для того, щоб функція мала границю в точці , необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла умові Коші в цій точці. (без доказу).

Нехай .

Визначення 5. Правим (лівим) напівоколом точки називається інтервал ( ), де .

Нехай функція визначена в деякому правому напівоколі точки .

Визначення 6. Число називається границею функції в точці справа (чи правобічною границею) і позначається

якщо для таке, що для виконується нерівність:

Визначення 7. Число називається границею функції в точці зліва (чи лівобічною границею) і позначається

якщо для таке, що для виконується нерівність:

Лівобічна і правобічна границі разом називаються однобічними границями.

Якщо , то в позначенні однобічних границь пишуть не , , а

, .

Приклад. Нехай . Знайти однобічні границі функції в точці .

При обчисленні лівобічної (правобічної) границі в точці поведінка функції, її значення, її формула розглядаються зліва (справа) від .

Почнемо з правобічної границі. Будь-який правобічний окіл точки містить у собі тільки додатні значення , для яких , а , тоді

оскільки границя сталої, незалежно від того, куди прямує , дорівнює їй самій.

Будь-який лівобічний окіл точки містить у собі тільки від’ємні значення , для яких , а , тоді

Отримані однобічні границі мають різні значення. Графік функції представлений на рис.5. Зрозуміло, що не існує.

Теорема 5 (критерій існування границі функції). Для того, щоб функція мала границю в точці необхідно і достатньо, щоб у цій точці існували обидві однобічні границі, і вони були рівні.

Доказ. Необхідність. Нехай існує . За визначенням границі функції за Коші це означає, що для таке, що для виконується нерівність: . Умова (**) виконується тоді, коли виконується умова (*). Умова (*) означає, що , тобто , може знаходитись як справа (умова (**) виконується), так і зліва (умова (**) виконується) від , (рис.6).

Рис.6.

Виконання (**), коли , свідчить за визначенням, що , а виконання (**), коли , свідчить за визначенням, що , що й потрібно було довести.

Достатність. Нехай існують . З існування правобічної границі за визначенням 6 випливає, що для таке, що для виконується нерівність:

З існування лівобічної границі за визначенням 7 випливає, що для таке, що для виконується та ж сама нерівність:

Позначимо: . Якщо задовольняє умові: , то він обов’язково опиниться чи в правому, чи в лівому визначених вище напівоколах точки , а тому буде мати місце нерівність . Таким чином,

для , що буде виконуватися: , а це означає, що , що й потрібно було довести.

Приклад. З’ясувати, чи має границю в точці функція (графік представлений на рис.6).

Знайдемо однобічні границі функції в точці :

Оскільки

то за попередньою теоремою

Приклад. З’ясувати, чи має границю в точці функція .

Почнемо з обчислення правобічної границі:

Оскільки правобічна границя функції в точці не існує, то за попередньою теоремою не існує і .

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Однобічні границі монотонної функції	\|	Heated fluid in a container

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.