Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Гіпербола

Еліпс

Лекція 4. Криві другого порядку.

Знамениті криві – еліпс, гіпербола та парабола відомі математикам уже кілька тисячоліть. Їх відкриття приписують одному з учнів Платонівської Академії Менехму (IV ст. до н.е.). Він розглядав переріз прямого кругового конуса площинами і з’ясував, що в залежності від кута нахилу твірних конуса та розташування площини в перерізі з’являються криві з характерними геометричними властивостями. На його честь ці криві звалися тріадою Менехма. Сторіччям пізніше інший грецький математик Аполлоній присвятив цим кривим цілу монографію з восьми книг «Про конічні перерізи». Власне, саме Аполлоній дав назви «еліпс», «гіпербола» та «парабола» елементам тріади Менехма та відкрив багато залежностей, що й понині є предметом вивчення аналітичної геометрії. Проте, сучасні математики, на відміну від своїх славнозвісних попередників, озброєні потужним координатним методом. З його допомогою розглянемо основні криві другого порядку.

Розглянемо геометричне місце точок, що мають таку властивість: сума відстаней будь-якої точки від двох фіксованих точок, які називаються фокусами, є величиною сталою. Покажемо, що цим геометричним місцем точок є саме еліпс.

Виберемо прямокутну систему координат так, щоб вісь ОХ співпала з фокальною віссю ( прямою, якій належать фокуси ), а фокуси знаходилися б симетрично відносно початку координат. Розглянемо довільну точку з координатами , яка має вказану вище геометричну властивість. Координати фокусів позначимо відповіднота . Нехай .

Означення 1. та називаються фокальними радіусами точки .

Покладемо (1)

( З очевидних геометричних міркувань випливає, що ). Отже, маємо: ,

або . Оскільки обидві частини рівності додатні, піднесемо рівність до квадрату і виконаємо очевидні скорочення: . Повторне піднесення до квадрату приводить до рівності:

.

Позначимо та поділимо обидві частини останньої рівності на . Остаточно одержимо:

Рис. 1 (2)

– це і є канонічне рівняння еліпса, центр якого знаходиться в початку координат. Залишаємо читачеві можливість самостійно переконатись, що проведені вище перетворення не привносять сторонніх коренів в рівняння (1). Параметри канонічного рівняння еліпса носять цілком природні назви: – велика вісь (– велика піввісь) – мала вісь (– мала піввісь).

Означення 2. Ексцентриситетом еліпсаназивають відношення відстані між фокусами до великої осі : . Для еліпса очевидно, що .

Корисними є формули, що зв’язують параметри еліпса з його ексцентриситетом: , або .

Ексцентриситет є мірою «сплюснутості» еліпса – зокрема при одержимо , тобто рівняння (1) задає коло. Цікавим виявляється і «шлях у зустрічному напрямку» – вивести з канонічного рівняння (10) геометричну властивість (2). Дійсно, для довільної точки еліпса маємо:

,

а отже, . (3)

Цілком аналогічно можна одержати, що , (4)

звідки й випливає властивість (2). Формули (3) та (4) дають раціональні вирази для фокальних радіусів та .

Рівняння еліпса часто розглядається в параметричній формі: , де .

Знайдемо криву, точки якої мають видатну геометричну властивість – модуль різниці відстаней будь-якої точки цієї кривої від двох фіксованих точок, що називаються фокусами, є сталою величиною.

З цією метою розглянемо ПДСК, початок якої знаходиться посередині відрізку, кінцями якого є фокуси, а фокальна вісь збігається з віссю ОХ. Нехай точка має координати . Координати фокусів позначимо відповідно та , а фокальні радіуси точки та . Покладемо (5)

Припустимо спочатку, що , тоді . Отже з рівності (5) маємо: , або . Оскільки обидві

частини рівності додатні, піднесемо рівність до квадрату і виконаємо очевидні скорочення:

, звідки випливає .

Позначивши остаточно одержимо: (6)

Рис. 2 – канонічне рівняння гіперболи. Йому задовольняють і точки, для яких . Початок координат є центром гіперболи, так само як і у випадку з еліпсом.

Оскільки для точок гіперболи , то при зростанні від до в першій чверті також зростає від 0 до . Неважко пересвідчитись, що , тобто гілка гіперболи нескінченно наближається знизу до прямої , але не перетинає її.

Означення 3.Прямі називаються асимптотами гіперболи.

Означення 4. Ексцентриситетом гіперболи називається відношення .

Для гіперболи . Очевидні також формули зв’язку параметрів гіперболи з її ексцентриситетом:, або .

Пропонуємо переконатись самостійно, що для точок правої гілки гіперболи справедливі формули:

; , (7)

а для точок лівої гілки – ; (8)

Гіпербола, яка задається рівнянням , має за дійсну вісь відрізок на осі ОY, а за уявну – відрізок на осі ОХ. Вона називається спряженою до гіперболи (5).


Читайте також:

  1. Гіпербола
  2. Еліпс, гіпербола, парабола з осями, паралельними осям координат




Переглядів: 1083

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Взаємне розташування прямої та площини. | Парабола

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.005 сек.