МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
ГіперболаЕліпс Лекція 4. Криві другого порядку. Знамениті криві – еліпс, гіпербола та парабола відомі математикам уже кілька тисячоліть. Їх відкриття приписують одному з учнів Платонівської Академії Менехму (IV ст. до н.е.). Він розглядав переріз прямого кругового конуса площинами і з’ясував, що в залежності від кута нахилу твірних конуса та розташування площини в перерізі з’являються криві з характерними геометричними властивостями. На його честь ці криві звалися тріадою Менехма. Сторіччям пізніше інший грецький математик Аполлоній присвятив цим кривим цілу монографію з восьми книг «Про конічні перерізи». Власне, саме Аполлоній дав назви «еліпс», «гіпербола» та «парабола» елементам тріади Менехма та відкрив багато залежностей, що й понині є предметом вивчення аналітичної геометрії. Проте, сучасні математики, на відміну від своїх славнозвісних попередників, озброєні потужним координатним методом. З його допомогою розглянемо основні криві другого порядку. Розглянемо геометричне місце точок, що мають таку властивість: сума відстаней будь-якої точки від двох фіксованих точок, які називаються фокусами, є величиною сталою. Покажемо, що цим геометричним місцем точок є саме еліпс. Виберемо прямокутну систему координат так, щоб вісь ОХ співпала з фокальною віссю ( прямою, якій належать фокуси ), а фокуси знаходилися б симетрично відносно початку координат. Розглянемо довільну точку з координатами , яка має вказану вище геометричну властивість. Координати фокусів позначимо відповіднота . Нехай . Означення 1. та називаються фокальними радіусами точки . Покладемо (1) ( З очевидних геометричних міркувань випливає, що ). Отже, маємо: , або . Оскільки обидві частини рівності додатні, піднесемо рівність до квадрату і виконаємо очевидні скорочення: . Повторне піднесення до квадрату приводить до рівності: . Позначимо та поділимо обидві частини останньої рівності на . Остаточно одержимо: Рис. 1 (2) – це і є канонічне рівняння еліпса, центр якого знаходиться в початку координат. Залишаємо читачеві можливість самостійно переконатись, що проведені вище перетворення не привносять сторонніх коренів в рівняння (1). Параметри канонічного рівняння еліпса носять цілком природні назви: – велика вісь (– велика піввісь) – мала вісь (– мала піввісь). Означення 2. Ексцентриситетом еліпсаназивають відношення відстані між фокусами до великої осі : . Для еліпса очевидно, що . Корисними є формули, що зв’язують параметри еліпса з його ексцентриситетом: , або . Ексцентриситет є мірою «сплюснутості» еліпса – зокрема при одержимо , тобто рівняння (1) задає коло. Цікавим виявляється і «шлях у зустрічному напрямку» – вивести з канонічного рівняння (10) геометричну властивість (2). Дійсно, для довільної точки еліпса маємо: , а отже, . (3) Цілком аналогічно можна одержати, що , (4) звідки й випливає властивість (2). Формули (3) та (4) дають раціональні вирази для фокальних радіусів та . Рівняння еліпса часто розглядається в параметричній формі: , де . Знайдемо криву, точки якої мають видатну геометричну властивість – модуль різниці відстаней будь-якої точки цієї кривої від двох фіксованих точок, що називаються фокусами, є сталою величиною. З цією метою розглянемо ПДСК, початок якої знаходиться посередині відрізку, кінцями якого є фокуси, а фокальна вісь збігається з віссю ОХ. Нехай точка має координати . Координати фокусів позначимо відповідно та , а фокальні радіуси точки – та . Покладемо (5) Припустимо спочатку, що , тоді . Отже з рівності (5) маємо: , або . Оскільки обидві частини рівності додатні, піднесемо рівність до квадрату і виконаємо очевидні скорочення: , звідки випливає . Позначивши остаточно одержимо: (6) Рис. 2 – канонічне рівняння гіперболи. Йому задовольняють і точки, для яких . Початок координат є центром гіперболи, так само як і у випадку з еліпсом. Оскільки для точок гіперболи , то при зростанні від до в першій чверті також зростає від 0 до . Неважко пересвідчитись, що , тобто гілка гіперболи нескінченно наближається знизу до прямої , але не перетинає її. Означення 3.Прямі називаються асимптотами гіперболи. Означення 4. Ексцентриситетом гіперболи називається відношення . Для гіперболи . Очевидні також формули зв’язку параметрів гіперболи з її ексцентриситетом:, або . Пропонуємо переконатись самостійно, що для точок правої гілки гіперболи справедливі формули: ; , (7) а для точок лівої гілки – ; (8) Гіпербола, яка задається рівнянням , має за дійсну вісь відрізок на осі ОY, а за уявну – відрізок на осі ОХ. Вона називається спряженою до гіперболи (5). Читайте також:
|
||||||||
|