Студопедия
Контакти
 


Тлумачний словник

Реклама: Настойка восковой моли




Авто | Автоматизація | Архітектура | Астрономія | Аудит | Біологія | Будівництво | Бухгалтерія | Винахідництво | Виробництво | Військова справа | Генетика | Географія | Геологія | Господарство | Держава | Дім | Екологія | Економетрика | Економіка | Електроніка | Журналістика та ЗМІ | Зв'язок | Іноземні мови | Інформатика | Історія | Комп'ютери | Креслення | Кулінарія | Культура | Лексикологія | Література | Логіка | Маркетинг | Математика | Машинобудування | Медицина | Менеджмент | Метали і Зварювання | Механіка | Мистецтво | Музика | Населення | Освіта | Охорона безпеки життя | Охорона Праці | Педагогіка | Політика | Право | Програмування | Промисловість | Психологія | Радіо | Регилия | Соціологія | Спорт | Стандартизація | Технології | Торгівля | Туризм | Фізика | Фізіологія | Філософія | Фінанси | Хімія | Юриспунденкция

Визначення. Точки максимуму й мінімуму функції називаються точками екстремуму.

Загрузка...

Дослідження функцій за допомогою похідної.

Похідні й диференціали вищих порядків.

Нехай функція f(x) – диференційована на деякому інтервалі. Тоді, диференціюючи її, одержуємо першу похідну

 



Интернет реклама УБС

Якщо знайти похідну функції f¢(x), одержимо другу похіднуфункції f(x).

 



Интернет реклама УБС

тобто y¢¢ = (y¢)¢ або .

 



Интернет реклама УБС

Цей процес можна продовжити й далі, знаходячи похідні ступеня n.

.

 



Интернет реклама УБС

Загальні правила знаходження вищих похідних.

Якщо функції u = f(x) і v = g(x) диференційовані, то

 



Интернет реклама УБС

1) (Сu)(n) = Cu(n);

2) (u ± v)(n) = u(n) ± v(n);

3)

.

Цей вираз називається формулою Лейбніца.

 



Интернет реклама УБС

Також за формулою dny = f(n)(x)dxn може бути знайдений диференціал n-го порядку.

 



Интернет реклама УБС

Зростання й спадання функцій.

Теорема. 1) Якщо функція f(x) має похідну на відрізку [a, b] і зростає на цьому відрізку, то її похідна на цьому відрізку ненегативна, тобто .

2) Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на проміжку (а, b), причому f¢(x) > 0 для a < x < b, то ця функція зростає на відрізку [a, b].

 



Интернет реклама УБС

Доведення.

1) Якщо функція f(x) зростає, то f(x + Dx) > f(x) при Dx >0 і f(x + Dx) < f(x) при Dx<0,

тоді:

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

2) Нехай f¢(x)>0 для будь-яких точок х1 і х2, що належать відрізку [a, b], причому x1<x2.

 



Интернет реклама УБС

Тоді за теоремою Лагранжа: f(x2) – f(x1) = f¢(e)(x2x1), x1 < e < x2

За умовою f¢(e)>0, отже, f(x2) – f(x1) >0, тобто функція f(x) зростає.

 



Интернет реклама УБС

Теорему доведено.

 



Интернет реклама УБС

Аналогічно можна зробити висновок про те, що якщо функція f(x) спадає на відрізку [a, b], то на цьому відрізку. Якщо у проміжку (a, b), то f(x) спадає на відрізку [a, b].

Звичайно, дане твердження справедливо, якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на інтервалі (a, b).

 



Интернет реклама УБС

Доведену вище теорему можна проілюструвати геометрично:

 



Интернет реклама УБС

y y

 



Интернет реклама УБС

j j j j

x x

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Точки екстремуму.

 



Интернет реклама УБС

Визначення. Функція f(x) має в точці х1 максимум, якщо її значення в цій точці більше значень у всіх точках деякого інтервалу, що містить точку х1. Функція f(x) має в точці х2 мінімум, якщо f(x2 +Dx) > f(x2) при кожному Dх (Dх може бути й від’ємним).

 



Интернет реклама УБС

Очевидно, що функція, визначена на відрізку може мати максимум і мінімум тільки в точках, що перебувають усередині цього відрізка. Не можна також плутати максимум і мінімум функції з її найбільшим і найменшим значенням на відрізку – це поняття принципово різні.

 



Интернет реклама УБС

Теорема. (необхідна умова існування екстремуму) Якщо функція f(x) диференційована в точці х = х1 і точка х1 є точкою екстремуму, то похідна функції обертається в нуль у цій точці.

 



Интернет реклама УБС

Доведення. Припустимо, що функція f(x) має в точці х = х1 максимум.

Тоді при досить малих позитивних Dх > 0 вірна нерівність:

, тобто

 



Интернет реклама УБС

Тоді

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

За визначенням:

 



Интернет реклама УБС

Тобто якщо Dх®0, але Dх<0, то , а якщо Dх®0, але Dх>0, то .

 



Интернет реклама УБС

А можливо це тільки в тому випадку, якщо при Dх®0 f ¢(x1) = 0.

 



Интернет реклама УБС

Для випадку, якщо функція f(x) має в точці х2 мінімум теорема доводиться аналогічно.

Теорему доведено.

 



Интернет реклама УБС

Наслідок. Зворотне твердження невірно. Якщо похідна функції в деякій точці дорівнює нулю, то це ще не значить, що в цій точці функція має екстремум. Красномовний приклад цього – функція у = х3, похідна якої в точці х = 0 дорівнює нулю, однак у цій точці функція має тільки перегин, а не максимум або мінімум.

 



Интернет реклама УБС

Визначення. Критичними точками функції називаються точки, у яких похідна функції не існує або дорівнює нулю.

 



Интернет реклама УБС

Розглянута вище теорема дає нам необхідні умови існування екстремуму, але цього недостатньо.

 



Интернет реклама УБС

Приклад: f (x) = ôxô Приклад: f (x) =

 



Интернет реклама УБС

y y

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

x

 



Интернет реклама УБС

x

 



Интернет реклама УБС


В точці х = 0 функція не має ні максимуму, ні мінімуму, ні похідної.

У точці х = 0 функція має мінімум, але не має похідної.


 

 



Интернет реклама УБС

Загалом кажучи, функція f(x) може мати екстремум у точках, де похідна не існує або дорівнює нулю.

Теорема. (Достатні умови існування екстремуму)

Нехай функція f(x) неперервна в інтервалі (a, b), що містить критичну точку х1, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (крім, може бути, самої точки х1).

Якщо при переході через точку х1 ліворуч праворуч похідна функції f¢(x) міняє знак з “+” на “–“, то в точці х = х1 функція f(x) має максимум, а якщо похідна міняє знак з “–“ на “+” – то функція має мінімум.

 



Интернет реклама УБС

Доведення.

 



Интернет реклама УБС

Нехай

 



Интернет реклама УБС

За теоремою Лагранжа: f(x) – f(x1) = f¢(e)(x – x1), де x < e < x1.

 



Интернет реклама УБС

Тоді: 1) Якщо х < x1, то e < x1; f ¢(e)>0; f ¢(e)(xx1) < 0, отже

 



Интернет реклама УБС

f(x) – f(x1)<0 або f(x) < f(x1).

 



Интернет реклама УБС

2) Якщо х > x1, то при e > x1 f ¢(e)<0; f ¢(e)(xx1)<0, отже

 



Интернет реклама УБС

f(x) – f(x1)<0 або f(x) < f(x1).

Оскільки відповіді збігаються, то можна сказати, що f(x) < f(x1) у будь-яких точках поблизу х1, тобто х1 – точка максимуму.

 



Интернет реклама УБС

Доведення теореми для точки мінімуму проводиться аналогічно.

 



Интернет реклама УБС

Теорему доведено.

 



Интернет реклама УБС

На основі вищесказаного можна виробити єдиний порядок дій при знаходженні найбільшого й найменшого значення функції на відрізку:

 



Интернет реклама УБС

1) Знайти критичні точки функції.

2) Знайти значення функції в критичних точках.

3) Знайти значення функції на кінцях відрізка.

4) Обрати серед отриманих значень найбільше й найменше.

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Дослідження функції на екстремум за допомогою похідних вищих порядків.

 



Интернет реклама УБС

Нехай у точці х = х1 f ¢(x1) = 0 і f ¢¢(x1) існує й неперервна в деякому околі точки х1.

 



Интернет реклама УБС

Теорема. Якщо f¢(x1) = 0, то функція f(x) у точці х = х1 має максимум, якщо f ¢¢(x1) < 0 і мінімум, якщо f ¢¢(x1) > 0.

 



Интернет реклама УБС

Доведення.

Нехай f ¢(x1) = 0 і f ¢¢(x1) < 0. Оскільки функція f(x) неперервна, то f ¢¢(x1) буде від’ємною й у деякій малому околі точки х1.

Оскільки f ¢¢(x) = (f ¢(x))¢ < 0, то f ¢(x) спадає на відрізку, що містить точку х1, але f ¢(x1)=0, тобто f ¢(x) > 0 при х<x1 і f ¢(x) < 0 при x > x1. Це й означає, що при переході через точку х = х1 похідна f ¢(x) міняє знак з “+” на “–“, тобто в цій точці функція f(x) має максимум.

Для випадку мінімуму функції теорема доводиться аналогічно.

 



Интернет реклама УБС

Якщо f¢¢(x) = 0, то характер критичної точки невідомий. Для його визначення потрібне подальше дослідження.

 



Интернет реклама УБС

Опуклість і увігнутість кривої.

Точки перегину.

 



Интернет реклама УБС

Визначення. Крива звернена опуклістю догори на інтервалі (а, b), якщо всі її точки лежать нижче будь-якої її дотичної на цьому інтервалі. Крива, звернена опуклістю нагору, називається опуклою, а крива, звернена опуклістю вниз – називається увігнутою.

 



Интернет реклама УБС

у

 



Интернет реклама УБС

x

 



Интернет реклама УБС

На малюнку показана ілюстрація наведеного вище визначення.

 



Интернет реклама УБС

Теорема 1. Якщо у всіх точках інтервалу (a, b) друга похідна функції f(x) від’ємна, то крива y = f(x) звернена опуклістю нагору (опукла).

 



Интернет реклама УБС

Доведення. Нехай х0 Î (a, b). Проведемо дотичну до кривої в цій точці.

Рівняння кривої: y = f(x);

Рівняння дотичної:

Слід довести, що .

За теоремою Лагранжа для f(x) – f(x0): , x0 < c < x.

 



Интернет реклама УБС

За теоремою Лагранжа для .

 



Интернет реклама УБС

Нехай х > x0 тоді x0 < c1 < c < x. Оскільки xx0 > 0 і cx0 > 0, і крім того за умовою

, отже, .

 



Интернет реклама УБС

Нехай x < x0 тоді x < c < c1 < x0 і xx0 < 0, cx0 < 0, оскільки за умовою тому .

Аналогічно доводиться, що якщо f ¢¢(x) > 0 на інтервалі (a, b), то крива y = f(x) увігнута на інтервалі (a, b).

 



Интернет реклама УБС

Теорему доведено.

 



Интернет реклама УБС

Визначення. Точка, що відокремлює опуклу частину кривої від увігнутої, називається точкою перегину.

 



Интернет реклама УБС

Очевидно, що в точці перегину дотична перетинає криву.

 



Интернет реклама УБС

Теорема 2. Нехай крива визначається рівнянням y = f(x). Якщо друга похідна f¢¢(a) = 0 або f¢¢(a) не існує й при переході через точку х = а f¢¢(x) міняє знак, то точка кривої з абсцисою х = а є точкою перегину.

 



Интернет реклама УБС

Доведення. 1) Нехай f ¢¢(x) < 0 при х < a і f ¢¢(x) > 0 при x > a. Тоді при x < a крива опукла, а при x > a крива увігнута, тобто точка х = а – точка перегину.

 



Интернет реклама УБС

2) Нехай f ¢¢(x) > 0 при x < b і f ¢¢(x) < 0 при x < b. Тоді при x < b крива звернена опуклістю вниз, а при x > b – опуклістю нагору. Тоді x = b – точка перегину.

 



Интернет реклама УБС

Теорему доведено.

 



Интернет реклама УБС

Асимптоти.

При дослідженні функцій часто буває, що при видаленні координати х точки кривої в нескінченність крива необмежено наближається до деякої прямої.

 



Интернет реклама УБС

Визначення. Пряма називається асимптотоюкривої, якщо відстань від змінної точки кривої до цієї прямої при видаленні точки в нескінченність прямує до нуля.

 



Интернет реклама УБС

Слід зазначити, що не будь-яка крива має асимптоту. Асимптоти можуть бути прямі й похилі. Дослідження функцій на наявність асимптот має велике значення й дозволяє більш точно визначити характер функції й поводження графіка кривої.

 



Интернет реклама УБС

Загалом кажучи, крива, необмежено наближаючись до своєї асимптоти, може й перетинати її, причому не в одній точці, як показано на наведеному нижче графіку функції . Її похила асимптот y = х.

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Розглянемо докладніше методи знаходження асимптот кривих.

 



Интернет реклама УБС

Вертикальні асимптоти.

 



Интернет реклама УБС

З визначення асимптоти треба, що якщо або або , то пряма х = а – асимптота кривої y = f(x).

 



Интернет реклама УБС

Наприклад, для функції пряма х = 5 є вертикальною асимптотою.

 



Интернет реклама УБС

Похилі асимптоти.

 



Интернет реклама УБС

Припустимо, що крива y = f(x) має похилу асимптоту y = kx + b.

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

M

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС


j

N

j P

 



Интернет реклама УБС

Q

Позначимо точку перетину кривої й перпендикуляра до асимптоти – М, Р – точку перетину цього перпендикуляра з асимптотою. Кут між асимптотою і віссю Ох позначимо j. Перпендикуляр МQ до осі Ох перетинає асимптоту в точці N.

 



Интернет реклама УБС

Тоді MQ = y – ордината точки кривої, NQ = – ордината точки N на асимптоті.

За умовою: , ÐNMP = j, .

Кут j – сталий і не рівний 900, тому

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Тоді .

 



Интернет реклама УБС

Отже, пряма y = kx + b – асимптота кривої. Для точного визначення цієї прямої необхідно знайти спосіб обчислення коефіцієнтів k і b.

В отриманому виразі виносимо за дужки х:

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Оскільки х®¥, то , оскільки b = const, то .

Тоді , отже,

 



Интернет реклама УБС

.

 



Интернет реклама УБС

Оскільки , то , отже,

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Відзначимо, що горизонтальні асимптоти є частковим випадком похилих асимптот при k =0.

 



Интернет реклама УБС

Приклад. Знайти асимптоти й побудувати графік функції .

1) Вертикальні асимптоти: y ® +¥ x ® 0–0; y ® –¥ x ®0+0, отже, х = 0 – вертикальна асимптота.

 



Интернет реклама УБС

2) Похилі асимптоти:

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Таким чином, пряма y = х + 2 є похилої асимптотою.

Побудуємо графік функції:

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Приклад. Знайти асимптоти й побудувати графік функції .

 



Интернет реклама УБС

Прямі х = 3 і х = – 3 є вертикальними асимптотами кривої.

 



Интернет реклама УБС

Знайдемо похилі асимптоти:

 



Интернет реклама УБС

y = 0 – горизонтальна асимптота.

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Приклад. Знайти асимптоти й побудувати графік функції .

 



Интернет реклама УБС

Пряма х = – 2 є вертикальною асимптотою кривої.

Знайдемо похилі асимптоти.

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Отже, пряма y = х – 4 є похилою асимптотою.

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Схема дослідження функцій

Процес дослідження функції складається з декількох етапів. Для найбільш повного подання про поводження функції й характер її графіка необхідно відшукати:

 



Интернет реклама УБС

1) Область існування функції.

Це поняття містить у собі й область значень і область визначення функції.

2) Точки розриву. (Якщо вони є).

3) Інтервали зростання й спадання.

4) Точки максимуму й мінімуму.

5) Максимальне й мінімальне значення функції на її області визначення.

6) Області опуклості й увігнутості.

7) Точки перегину.(Якщо вони є).

8) Асимптоти.(Якщо вони є).

9) Побудова графіка.

 



Интернет реклама УБС

Застосування цієї схеми розглянемо на прикладі.

 



Интернет реклама УБС

Приклад. Дослідити функцію й побудувати її графік.

 



Интернет реклама УБС

Знаходимо область існування функції. Очевидно, що областю визначення функції є область (–¥; – 1) È (– 1; 1) È (1; ¥).

У свою чергу, видно, що прямі х = 1, х = – 1 є вертикальними асимптотами кривої.

Областю значень даної функції є інтервал (– ¥; ¥).

Точками розриву функції є точки х = 1, х = – 1.

Знаходимо критичні точки.

Знайдемо похідну функції

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Критичні точки: x = 0; x = – ; x = ; x = – 1; x = 1.

 



Интернет реклама УБС

Знайдемо другу похідну функції

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

.

 



Интернет реклама УБС

Визначимо опуклість і увігнутість кривої на проміжках.

 



Интернет реклама УБС

– ¥ < x < – , y¢¢ < 0, крива опукла

– < x < – 1, y¢¢ < 0, крива опукла

– 1 < x < 0, y¢¢ > 0, крива увігнута

0 < x < 1, y¢¢ < 0, крива опукла

1 < x < , y¢¢ > 0, крива увігнута

< x < ¥, y¢¢ > 0, крива увігнута

 



Интернет реклама УБС

Знаходимо проміжки зростання й спадання функції. Для цього визначаємо знаки похідної функції на проміжках.

 



Интернет реклама УБС

– ¥ < x < – , y¢ > 0, функція зростає

– < x < –1, y¢ < 0, функція спадає

–1 < x < 0, y¢ < 0, функція спадає

0 < x < 1, y¢ < 0, функція спадає

1 < x < , y¢ < 0, функція спадає

< x < ¥, y¢ > 0, функція зростає

 



Интернет реклама УБС

Видно, що точка х = – є точкою максимуму, а точка х = є точкою мінімуму. Значення функції в цих точках рівні відповідно 3/2 і –3/2 .

 



Интернет реклама УБС

Про вертикальні асимптоти було вже сказане вище. Тепер знайдемо похилі асимптоти.

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Отже, рівняння похилої асимптоти – y = x.

 



Интернет реклама УБС

Побудуємо графік функції:

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС


Читайте також:

  1. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
  2. Алгебраїчний спосіб визначення точки беззбитковості
  3. Алгоритм знаходження ДДНФ (ДКНФ) для даної булевої функції
  4. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
  5. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
  6. Аналіз точки беззбитковості
  7. АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
  8. Асимптоти графіка функції
  9. Базальні ядра, їх функції, симптоми ураження
  10. Базові функції, логічні функції
  11. Банки як провідні суб’єкти фінансового посередництва. Функції банків.
  12. Банківська система та її основні функції

Загрузка...



<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Розкриття невизначеностей. | Параметричне задання функції.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:


 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.013 сек.