• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Визначення: Площина, що проходить через дотичну й головну нормаль до кривої в точці А називається дотичною площиною.

Про формули Френе.

Визначення: Вектор називається вектором кривизни. Величина називається радіусом кривизни.

Кривизна просторової кривої.

Властивості еволюти.

Теорема 1: Нормаль до даної кривої є дотичною до її еволюти.

Теорема 2: Модуль різниці радіусів кривизни в будь-яких точках кривої дорівнює модулю довжини відповідної еволюти.

C₃

C₂

C₁

R₁ R₂ R₃

M₁

M’₁ M₂ M₃

M’₂

M’₃

Треба відзначити, що будь-якій еволюті відповідає нескінченне число евольвент.

Зазначені вище властивості можна проілюструвати в такий спосіб: якщо на еволюту натягнута нитка, то евольвента є траєкторною лінією кінця нитки при її змотуванні або розмотуванні за умови, що нитка перебуває в натягнутому стані.

Приклад: Знайти рівняння еволюти кривою, заданої рівняннями:

Рівняння еволюти:

Остаточно: – це рівняння кола із центром на початку координат радіуса а.

Вихідна крива виходить свого роду розгорненням кола.

Нижче наведені графіки вихідної кривої і її еволюти.

z

A(x, y, z)

B

O y

x

Для довільної точки А, що перебуває на просторовій кривій, координати можуть бути визначені як функції деякої довжини дуги S.

x = j (S); y = y (S); z = f (S);

Наведене вище рівняння називають векторним рівнянням лінії в просторі.

Визначення: Лінія, що опише в просторі змінний радіус-вектор при зміні параметра S, називається годографом цього вектора.

, тоді – вектор, спрямований по дотичній до кривої в точці А(x, y, z).

Але оскільки , то – одиничний вектор, спрямований по дотичній.

Якщо прийняти , то .

Причому .

Розглянемо другу похідну

Визначення: Пряма з напрямком, що співпадає з напрямком вектора називається головною нормаллю до кривої. Її одиничний вектор позначається .

, де K – кривизна кривої.

Кривизна просторової кривої може бути знайдена за формулою:

Можливий й інший запис формули для кривизни просторової кривої (вона виходить із наведеної вище формули):

Формулами Френе називаються співвідношення:

Остання формула отримана із двох перших.

У цих формулах:

– одиничний вектор головної нормалі до кривої,

– одиничний вектор бінормалі,

R – радіус кривизни кривої ,

Т – радіус кручення кривої.

Визначення: Нормаль до кривої, перпендикулярна до дотичної площини, називається бінормаллю.Її одиничний вектор – .

Величина називається крученням кривої.

Нижче розглянемо кілька прикладів дослідження методами диференціального числення різних типів функцій.

Приклад: Методами диференціального числення дослідити функцію й побудувати її графік.

1. Областю визначення даної функції є всі дійсні числа (-¥; ¥).

2. Функція є функцією загального виду в сенсі парності й непарності.

3. точки перетину з координатними осями: з віссю Оу: x = 0; y = 1;

з віссю Ох: y = 0; x = 1;

4. Точки розриву й асимптоти: Вертикальних асимптот немає.

Похилі асимптоти: загальне рівняння y = kx + b;

Отже: y = – х – похила асимптота.

5. Зростання й спадання функції, точки екстремуму.

. Видно, що y¢< 0 при будь-якому х ¹ 0, отже, функція спадає на всій області визначення й не має екстремумів. У точці х = 0 перша похідна функції дорівнює нулю, однак у цій точці спадання не змінюється на зростання, отже, у точці х = 0 функція швидше за все має перегин. Для знаходження точок перегину, знаходимо другу похідну функції.

; y¢¢ = 0 при х =0 і y¢¢ = ¥ при х = 1.

Точки (0,1) і (1,0) є точками перегину, тому що y¢¢(1 – h) < 0; y¢¢(1 + h) >0; y¢¢(– h) > 0; y¢¢(h) < 0 для будь-якого h > 0.

6. Побудуємо графік функції.

Приклад: Дослідити функцію й побудувати її графік.

1. Областю визначення функції є всі значення х, крім х = 0.

2. Функція є функцією загального виду в сенсі парності й непарності.

3. Точки перетину з координатними осями: c віссю Ох: y = 0; x =

с віссю Оу: x = 0; y – не існує.

4. Точка х = 0 є точкою розриву , отже, пряма х = 0 є вертикальної асимптотою.

Похилі асимптоти шукаємо у вигляді: y = kx + b.

Похила асимптот y = х.

5. Знаходимо точки екстремуму функції.

; y¢ = 0 при х = 2, y¢ = ¥ при х = 0.

y¢ > 0 при х Î (– ¥, 0) – функція зростає,

y¢ < 0 при х Î (0, 2) – функція спадає,

у¢ > 0 при х Î (2, ¥) – функція зростає.

Таким чином, точка (2, 3) є точкою мінімуму.

Для визначення характеру опуклості/увігнутості функції знаходимо другу похідну.

> 0 при будь-якому х ¹ 0, отже, функція увігнута на всій області визначення.

6. Побудуємо графік функції.

Приклад: Досліджувати функцію й побудувати її графік.

1. Областю визначення даної функції є проміжок х Î (– ¥, ¥).

2. У сенсі парності й непарності функція є функцією загального виду.

3. Точки перетину з осями координат: з віссю Оу: x = 0, y = 0;

з віссю Ох: y = 0, x = 0, x = 1.

4. Асимптоти кривої.

Вертикальних асимптот немає.

Спробуємо знайти похилі асимптоти у вигляді y = kx + b.

– похилих асимптот не існує.

5. Знаходимо точки екстремуму.

Для знаходження критичних точок слід розв’язати рівняння 4х³ – 9х² +6х –1 = 0.

Для цього розкладемо даний багаточлен третього ступеня на множники.

Підбором можна визначити, що одним з коренів цього рівняння є число х = 1. Тоді:

4x³ – 9x² + 6x – 1 x – 1

4x³ – 4x² 4x² – 5x + 1

– 5x² + 6x

– 5x² + 5x

x – 1

x – 1

Тоді можна записати (х – 1)(4х² – 5х + 1) = 0. Остаточно одержуємо дві критичні точки: x = 1 і x = 1/4.

Примітка. Операції ділення багаточленів можна було уникнути, якщо при знаходженні похідної скористатися формулою похідної добутку:

Знайдемо другу похідну функції: 12x² – 18x + 6. Прирівнюючи до нуля, знаходимо:

x = 1, x = 1/2.

Систематизуємо отриману інформацію в таблиці:

6. Побудуємо графік функції.

Інтегральне числення.

Читайте також:

1. Акустичний контроль приміщень через засоби телефонного зв'язку
2. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
3. Аналіз ризику через моделювання.
4. Асимптотична нормальність й ЦПТ
5. Безрозмірною характеристикою гідротрансформатора називається залежність коефіцієнтів пропорційності моментів насосного і турбінного коліс від його передаточного відношення.
6. Бізнес через Internet
7. Біоелектричні явища в тканинах: будова мембран клітини, транспорт речовин через мембрану, потенціал дії та його розповсюдження.
8. Будинків іспоруді забезпечення нормальних умов їх будівництва й експлуатації
9. В чому полягає явище тунелювання через потенціальний бар’єр, наведіть приклади.
10. В. Розрахунки через Інтернет
11. Вади розвитку – це порушення внутрішньоутробного розвитку, відхилення від нормальної будови організму. Найлегші ступені вад розвитку називають аномаліями, найважчі – потворністю.
12. Ввезення громадянами транспортних засобів із метою транзиту через територію України

Переглядів: 1237