Методи інтегрування.

Невизначений інтеграл.

Первісна функція.

Визначення: Функція F(x) називається первісною функцією функції f(x) на відрізку [a, b], якщо в будь-якій точці цього відрізка вірна рівність:

F¢(x) = f(x).

Треба відзначити, що первісних для однієї й тієї ж функції може бути нескінченно багато. Вони будуть відрізнятися друг від друга на деяке постійне число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

Визначення: Невизначеним інтеграломфункції f(x) називається сукупність первісних функцій, які визначені співвідношенням:

F(x) + C.

Записують:

Умовою існування невизначеного інтеграла на деякому відрізку є неперервність функції на цьому відрізку.

Властивості:

4. де u, v, w – деякі функції від х.

Приклад:

Знаходження значення невизначеного інтеграла пов'язано головним чином зі знаходженням первісної функції. Для деяких функцій це досить складна задача. Нижче будуть розглянуті способи знаходження невизначених інтегралів для основних класів функцій – раціональних, ірраціональних, тригонометричних, показникових та ін.

Для зручності значення невизначених інтегралів більшості елементарних функцій зібрані в спеціальні таблиці інтегралів, які бувають іноді досить об'ємними. У них включені різні найрозповсюдженніші комбінації функцій. Але більшість представлених у цих таблицях формул є наслідками одна одної, тому нижче приведемо таблицю основних інтегралів, за допомогою якої можна одержати значення невизначених інтегралів різних функцій.

Інтеграл	Значення	Інтеграл	Значення
		– ln½cosx½+C		e^x + C
		ln½sinx½+ C		sinx + C
				– cosx + C
				tgx + C
				– ctg x + C
		ln		+ C

Розглянемо три основних методи інтегрування.

Безпосереднє інтегрування.

Метод безпосереднього інтегрування заснований на припущенні про можливе значення первісної функції з подальшою перевіркою цього значення диференціюванням. Взагалі, відмітимо, що диференціювання є потужним інструментом перевірки результатів інтегрування.

Розглянемо застосування цього методу на прикладі:

Потрібно знайти значення інтеграла . На основі відомої формули диференціювання можна зробити висновок, що шуканий інтеграл дорівнює , де C – деяке стале число. Однак, з іншого боку . Таким чином, остаточно можна зробити висновок:

Відмітимо, що на відміну від диференціювання, де для знаходження похідної використалися чіткі прийоми й методи, правила знаходження похідної, нарешті визначення похідної, для інтегрування такі методи недоступні. Якщо при знаходженні похідної ми користувалися, так би мовити, конструктивними методами, які, базуючись на певних правилах, приводили до результату, то при знаходженні первісної доводиться в основному опиратися на знання таблиць похідних і первісних.

Що стосується методу безпосереднього інтегрування, то він застосовний тільки для деяких досить обмежених класів функцій. Функцій, для яких можна з ходу знайти первісну дуже мало. Тому в більшості випадків застосовуються способи, описані нижче.

Спосіб підстановки (заміни змінних).

Теорема: Якщо потрібно знайти інтеграл , але складно відшукати первісну, то за допомогою заміни x = j(t) і dx = j¢(t)dt виходить:

Доведення: Продиференціюємо пропоновану рівність:

По розглянутому вище властивості №2 невизначені інтеграли:

f (x)dx = f [j(t)]j¢(t) dt

що з урахуванням введених позначень і є вихідним припущенням. Теорему доведено.

Приклад. Знайти невизначений інтеграл .

Зробимо заміну t = sin x, dt = cos x dt.

Приклад.

Заміна Одержуємо:

Нижче будуть розглянуті інші приклади застосування методу підстановки для різних типів функцій.

Інтегрування частинами.

Спосіб заснований на відомій формулі похідної добутку:

(uv)¢ = u¢v + v¢u

де u і v – деякі функції від х.

У диференціальній формі: d(uv) = udv + vdu

Проінтегрувавши, одержуємо: , а відповідно до наведених вище властивостей невизначеного інтеграла:

або ;

Одержали формулу інтегрування частинами, що дозволяє знаходити інтеграли багатьох елементарних функцій.

Приклад.

Як видно, послідовне застосування формули інтегрування частинами дозволяє поступово спростити функцію й привести інтеграл до табличного.

Приклад.

Видно, що в результаті повторного застосування інтегрування частинами функцію не вдалося спростити до табличного виду. Однак, останній отриманий інтеграл нічим не відрізняється від вихідного. Тому перенесемо його в ліву частину рівності.

Таким чином, інтеграл знайдений взагалі без застосування таблиць інтегралів.

Перш ніж розглянути докладно методи інтегрування різних класів функцій, наведемо ще кілька прикладів знаходження невизначених інтегралів приведенням їх до табличного.

Приклад.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Визначення: Площина, що проходить через дотичну й головну нормаль до кривої в точці А називається дотичною площиною.	\|	Інтегрування раціональних функцій.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.007 сек.