Студопедия
Контакти
 


Тлумачний словник

Реклама: Настойка восковой моли




Авто | Автоматизація | Архітектура | Астрономія | Аудит | Біологія | Будівництво | Бухгалтерія | Винахідництво | Виробництво | Військова справа | Генетика | Географія | Геологія | Господарство | Держава | Дім | Екологія | Економетрика | Економіка | Електроніка | Журналістика та ЗМІ | Зв'язок | Іноземні мови | Інформатика | Історія | Комп'ютери | Креслення | Кулінарія | Культура | Лексикологія | Література | Логіка | Маркетинг | Математика | Машинобудування | Медицина | Менеджмент | Метали і Зварювання | Механіка | Мистецтво | Музика | Населення | Освіта | Охорона безпеки життя | Охорона Праці | Педагогіка | Політика | Право | Програмування | Промисловість | Психологія | Радіо | Регилия | Соціологія | Спорт | Стандартизація | Технології | Торгівля | Туризм | Фізика | Фізіологія | Філософія | Фінанси | Хімія | Юриспунденкция

Інтегрування раціональних функцій.

Загрузка...

Інтегрування елементарних дробів.

Визначення: Елементарниминазиваються дроби наступних чотирьох типів:

 



Интернет реклама УБС

I. III.

II. IV.

m, n – натуральні числа ( ) і b2 – 4ac <0.

 



Интернет реклама УБС

Перші два типи інтегралів від елементарних дробів досить просто приводяться до табличних підстановкою t = ax + b.

 



Интернет реклама УБС

I.

 



Интернет реклама УБС

II.

 



Интернет реклама УБС

Розглянемо метод інтегрування елементарних дробів виду III.

Інтеграл дробу виду III може бути представлений у вигляді:

 



Интернет реклама УБС

Тут у загальному вигляді показане приведення інтеграла дробу виду III до двох табличних інтегралів.

 



Интернет реклама УБС

Розглянемо застосування зазначеної вище формули на прикладах.

 



Интернет реклама УБС

Приклад.

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Загалом кажучи, якщо в тричлена ax2 + bx + c вираз b2 – 4ac >0, то дріб за визначенням не є елементарним, однак, його можна інтегрувати зазначеним вище способом.

 



Интернет реклама УБС

Приклад.

 



Интернет реклама УБС

Приклад.

 



Интернет реклама УБС

Розглянемо тепер методи інтегрування найпростіших дробів IV типу.

 



Интернет реклама УБС

Спочатку розглянемо окремий випадок при М = 0, N = 1.

Тоді інтеграл виду можна шляхом виділення в знаменнику повного квадрата представити у вигляді . Зробимо наступне перетворення:

.

Другий інтеграл, що входить у цю рівність, будемо брати частинами.

Позначимо:

 



Интернет реклама УБС

Для вихідного інтеграла одержуємо:

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Отримана формула називається рекурентною. Якщо застосувати її n – 1 раз, то вийде табличний інтеграл .

Повернемося тепер до інтеграла від елементарного дробу виду IV у загальному випадку.

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

В отриманій рівності перший інтеграл за допомогою підстановки t = u2 + s приводиться до табличного , а до другого інтеграла застосовується розглянута вище рекурентна формула.

Незважаючи на видиму складність інтегрування елементарного дробу виду IV, на практиці його досить легко застосовувати для дробів з невеликим ступенем n, а універсальність і загальність підходу уможливлює дуже просту реалізацію цього методу на ЕОМ.

 



Интернет реклама УБС

Приклад:

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Інтегрування раціональних дробів.

 



Интернет реклама УБС

Для того, щоб проінтегрувати раціональний дріб необхідно розкласти його на елементарні дроби.

 



Интернет реклама УБС

Теорема: Якщо – правильний раціональний дріб, знаменник P(x) якого представлений у вигляді добутку лінійних і квадратичних множників (відзначимо, що будь-який багаточлен з дійсними коефіцієнтами може бути представлений у такому вигляді: P(x) = (xa)a(x-b)b(x2+px+q)l(x2+rx+s)m), то цей дріб може бути розкладена на елементарні за наступною схемою:

 



Интернет реклама УБС

де Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – деякі постійні величини.

При інтегруванні раціональних дробів вдаються до розкладу вихідного дробу на елементарні. Для знаходження величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si застосовують так званий метод невизначених коефіцієнтів, суть якого полягає в тому, що для того, щоб два багаточлени були тотожно рівні, необхідно й досить, щоб були рівні коефіцієнти при однакових ступенях х.

Застосування цього методу розглянемо на конкретному прикладі.

 



Интернет реклама УБС

Приклад.

 



Интернет реклама УБС

Оскільки , то

 



Интернет реклама УБС

Приводячи до спільного знаменника й дорівнюючи відповідні чисельники, одержуємо:

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Отже:

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Приклад.

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Оскільки дріб неправильний, то попередньо слід виділити в ньому цілу частину:

6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7 3x3 – 4x2 – 17x + 6

6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2 2x2 + 3

9x3 + 8x2 – 76x – 7

9x3 – 12x2 – 51x +18

20x2 – 25x – 25

 



Интернет реклама УБС

Розкладемо знаменник отриманого дробу на множники. Видно, що при х = 3 знаменник дробу перетворюється в нуль. Тоді:

3x3 – 4x2 – 17x + 6 x – 3

3x3 – 9x2 3x2 + 5x – 2

5x2 – 17x

5x2 – 15x

– 2x + 6

– 2x + 6

Таким чином 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1). Тоді:

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Для того, щоб уникнути при знаходженні невизначених коефіцієнтів розкриття дужок, групування й розв’язання системи рівнянь (яка в деяких випадках може виявитися досить великою) застосовують так званий метод довільних значень. Суть методу полягає в тому, що в отриманий вище вираз підставляються по черзі декілька (по числу невизначених коефіцієнтів) довільних значень х. Для спрощення обчислень прийнято як довільні значення приймати точки, при яких знаменник дробу дорівнює нулю, тобто в нашому випадку – 3, – 2, 1/3. Одержуємо:

 



Интернет реклама УБС

Остаточно одержуємо:

 



Интернет реклама УБС

=

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Приклад.

 



Интернет реклама УБС

Знайдемо невизначені коефіцієнти:

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Тоді значення заданого інтеграла:

 



Интернет реклама УБС

 



Интернет реклама УБС

Інтегрування деяких тригонометричних функцій.

Інтегралів від тригонометричних функцій може бути нескінченно багато. Більшість із цих інтегралів взагалі не можна обчислити аналітично, тому розглянемо деякі найголовніші типи функцій, які можуть бути проінтегровані завжди.

 



Интернет реклама УБС


Читайте також:

  1. Аденогіпофіз, його гормони, механізм впливу, прояви гіпер- та гіпофункцій.
  2. Альтернативні уявлення щодо макроекономічного регулювання: теорії раціональних сподівань та економіка пропозиції. Крива Лафера.
  3. Безпосереднє інтегрування
  4. Вибір раціональних способів усунення заданих дефектів
  5. Вибір раціональних способів усунення заданих дефектів
  6. Вироблення та реалізація раціональних управлінських рішень.
  7. Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.
  8. Властивості множини невід’ємних раціональних чисел.
  9. Гіпофункцій.
  10. Диференціювання та інтегрування матриць.
  11. Додавання і віднімання невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність суми і різниці. Властивості (закони) додавання.
  12. Замикання і замкнені класи булевих функцій.

Загрузка...



<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Методи інтегрування. | Інтеграл виду де n – натуральне число.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:


 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.006 сек.