Інтеграл виду де n – натуральне число.

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

Різних аргументів.

Інтеграл добутку синусів і косинусів

Функція R парна відносно sin x і cos x.

Інтеграл виду

Функція R є непарною відносно sin x.

Інтеграл виду , якщо

Функція R є непарною відносно cos x.

Інтеграл виду , якщо

Інтеграл виду .

Тут R – позначення деякої раціональної функції від змінних sin x і cos x.

Інтеграли цього виду обчислюються за допомогою підстановки . Ця підстановка дозволяє перетворити тригонометричну функцію в раціональну.

Тоді

У такий спосіб:

Описане вище перетворення називається універсальною тригонометричною підстановкою.

Приклад.

Безсумнівною перевагою цієї підстановки є те, що з її допомогою завжди можна перетворити тригонометричну функцію в раціональну й обчислити відповідний інтеграл. До недоліків можна віднести те, що при перетворенні може вийти досить складна раціональна функція, інтегрування якої займе багато часу й сил.

Однак при неможливості застосувати раціональнішу заміну змінної цей метод є єдиним результативним.

Приклад.

Незважаючи на можливість обчислення такого інтеграла за допомогою універсальної тригонометричної підстановки, раціональніше застосувати підстановку t = sin x.

Функція може містити cos x тільки в парних ступенях, а отже, може бути перетворена в раціональну функцію відносно sin x.

Приклад.

Загалом кажучи, для застосування цього методу необхідна тільки непарність функції щодо косинуса, а ступінь синуса, що входить у функцію може бути кожний, як цілої, так і дробової.

За аналогією з розглянутим вище випадком робиться підстановка t = cos x.

Тоді

Приклад.

Для перетворення функції R у раціональну використається підстановка t = tgx.

Тоді

Приклад.

Залежно від типу добутку застосуються одна із трьох формул:

Приклад.

Іноді при інтегруванні тригонометричних функцій зручно використати загальновідомі тригонометричні формули для зниження порядку функцій.

Приклад.

Іноді застосовуються деякі нестандартні прийоми.

Приклад.

Отже

Далеко не кожна ірраціональна функція може мати інтеграл, виражений елементарними функціями. Для знаходження інтеграла від ірраціональної функції слід застосувати підстановку, що дозволить перетворити функцію в раціональну, інтеграл від якої може бути знайдений як відомо завжди.

Розглянемо деякі прийоми для інтегрування різних типів ірраціональних функцій.

За допомогою підстановки функція раціоналізується.

Тоді

Приклад.

Якщо до складу ірраціональної функції входять коріння різних ступенів, то в якості нової змінної раціонально взяти корінь ступеня, рівного найменшому спільному кратному ступенів корінь, що входять у вираз.

Проілюструємо це на прикладі.

Приклад.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Інтегрування раціональних функцій.	\|	Інтеграли виду .

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.