Частинні похідні вищих порядків.

Наближені обчислення за допомогою повного диференціала.

Дотична площина й нормаль до поверхні.

Повний приріст і повний диференціал.

Визначення. Для функції f(x, y) вираз Dz = f( x + Dx, y + Dy) – f(x, y) називається повним приростом.

Якщо функція f(x, y) має неперервні частинні похідні, то

Застосуємо теорему Лагранжа (див. Теорема Лагранжа.) до виразів, що стоять у квадратних дужках.

тут

Тоді одержуємо

Оскільки частинні похідні неперервні, то можна записати рівності:

Визначення. Вираз називається повним приростомфункції f(x, y) у деякій точці (х, у), де a₁ і a₂ – нескінченно малі функції при Dх ® 0 і Dy ® 0 відповідно.

Визначення: Повним диференціаломфункції z = f(x, y) називається головна лінійна відносно Dх і Dу частина приросту функції Dz у точці (х, у).

Для функції довільного числа змінних:

Приклад. Знайти повний диференціал функції .

Приклад. Знайти повний диференціал функції

Геометричний зміст повного диференціала.

нормаль

j N₀

дотична площина

Нехай N і N₀ – точки даної поверхні. Проведемо пряму NN₀. Площина, що проходить через точку N₀, називається дотичною площиною до поверхні, якщо кут між січної NN₀ і цією площиною прямує до нуля, коли прямує до нуля відстань NN₀.

Визначення. Нормаллюдо поверхні в точці N₀ називається пряма, що проходить через точку N₀ перпендикулярно дотичній площини до цієї поверхні.

У будь-якій точці поверхня має або тільки одну дотичну площину, або не має її зовсім.

Якщо поверхня задана рівнянням z = f(x, y), де f(x, y) – функція, диференційована в точці М₀(х₀, y₀), дотична площина в точці N₀(x₀,y₀) існує й має рівняння:

Рівняння нормалі до поверхні в цій точці:

Геометричним змістом повного диференціала функції двох змінних f(x, y) у точці (х₀, y₀) є приріст аплікати (координати z) дотичної площини до поверхні при переході від точки (х₀, y₀) до точки (х₀+Dх, y₀+Dу).

Як видно, геометричний зміст повного диференціала функції двох змінних є просторовим аналогом геометричного змісту диференціала функції однієї змінної.

Приклад. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні

у точці М(1, 1, 1).

Рівняння дотичної площини:

Рівняння нормалі:

Нехай функція f(x, y) диференційована в точці (х, у). Знайдемо повний приріст цієї функції:

Якщо підставити в цю формулу вираз

то одержимо наближену формулу:

Приклад. Обчислити приблизно значення , виходячи зі значення функції при x = 1, y = 2, z = 1.

Із заданого виразу визначимо Dx = 1,04 – 1 = 0,04, Dy = 1,99 – 2 = – 0,01,

Dz = 1,02 – 1 = 0,02.

Знайдемо значення функції u(x, y, z) =

Знаходимо частинні похідні:

Повний диференціал функції u дорівнює:

Точне значення цього виразу: 1,049275225687319176.

Якщо функція f (x, y) визначена в деякій області D, то її частки похідні й теж будуть визначені в тій же області або її частині.

Будемо називати ці похідні частинними похідними першого порядку.

Похідні цих функцій будуть частинними похідними другого порядку.

Продовжуючи диференціювати отримані рівності, одержимо частинні похідні вищих порядків.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Похідні й диференціали функцій декількох змінних.	\|	Умовний екстремум.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.007 сек.