МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Градієнт.Похідна за напрямком.
Розглянемо функцію u(x, y, z) у точці М( x, y, z) і точці М1(x + Dx, y + Dy, z + Dz). Проведемо через точки М та М1 вектор . Кути нахилу цього вектора до напрямку координатних осей х, y, z позначимо відповідно a, b, g. Косинуси цих кутів називаються напрямними косинусамивектора . Відстань між точками М та М1 на векторі позначимо DS.
Висловлені вище припущення, проілюструємо на малюнку:
z M
M1
y
x
Далі припустимо, що функція u(x, y, z) неперервна й має неперервні частинні похідні по змінним х, у і z. Тоді правомірно записати наступний вираз:
,
де величини e1, e2, e3 – нескінченно малі при . З геометричних міркувань очевидно:
Таким чином, наведені вище рівності можуть бути представлені в такий спосіб:
;
Відзначимо, що величина s є скалярною. Вона лише визначає напрямок вектора . Із цього рівняння випливає таке визначення:
Визначення: Границя називається похідною функції u(x, y, z) за напрямком векторав точці з координатами (x, y, z).
Пояснимо значення викладених вище рівностей на прикладі.
Приклад. Обчислити похідну функції z = x2 + y2x у точці А(1, 2) за напрямком вектора . В (3, 0).
Розв’язання. Насамперед необхідно визначити координати вектора . =(3 – 1; 0 – 2) = (2; – 2) = 2 . Далі визначаємо модуль цього вектора:
= Знаходимо частинні похідні функції z у загальному вигляді:
Значення цих величин у точці А:
Для знаходження напрямних косинусів вектора робимо наступні перетворення: = За величину приймається довільний вектор, спрямований уздовж заданого вектора, тобто визначальний напрямок диференціювання. Звідси одержуємо значення напрямних косинусів вектора : cos a = ; cos b = –
Остаточно одержуємо: – значення похідної заданої функції за напрямком вектора .
Визначення: Якщо в деякій області D задана функція u = u (x, y, z) і деякий вектор, проекції якого на координатні осі дорівнюють значенням функції u у відповідній точці , те цей вектор називається градієнтомфункції u.
При цьому говорять, що в області D задане поле градієнтів.
Зв'язок градієнта з похідною за напрямком.
Теорема: Нехай задана функція u = u(x, y, z) і поле градієнтів . Тоді похідна за напрямком деякого вектора рівна проекції вектора grad u на вектор .
Доведення: Розглянемо одиничний вектор і деяку функцію u = u (x, y, z) і знайдемо скалярний добуток векторів і grad u.
Вираз, що стоїть в правій частині цієї рівності є похідною функції u за напрямком s. Тобто . Якщо кут між векторами grad u і позначити через j, той скалярний добуток можна записати у вигляді добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. З врахуванням того, що вектор одиничний, тобто його модуль дорівнює одиниці, можна записати:
Вираз, що стоїть в правій частині цієї рівності і є проекцією вектораgrad u на вектор .
Теорему доведено.
Для ілюстрації геометричного й фізичного змісту градієнта скажемо, що градієнт – вектор, що показує напрямок найшвидшої зміни деякого скалярного поля u у якійсь точці. У фізиці існують такі поняття як градієнт температури, градієнт тиску й т.п. Тобто напрямок градієнта є напрямком найбільш швидкого росту функції. З погляду геометричного подання градієнт перпендикулярний поверхні рівня функції.
Кратні інтеграли. Як відомо, інтегрування є процесом підсумовування. Однак підсумовування може проводитися неодноразово, що приводить нас до поняття кратних інтегралів. Розгляд цього питання почнемо з розгляду подвійних інтегралів.
|
||||||||
|