МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Подвійні інтеграли.
Розглянемо на площині деяку замкнуту криву, рівняння якої f (x, y) = 0.
y
0 x
Сукупність всіх точок, що лежать усередині кривої і на самій кривій назвемо замкнутою областю D. Якщо вибрати точки області без врахування точок, що лежать на кривій, область буде називається незамкнутою областю D. З геометричної точки зору D – площа фігури, обмеженої контуром. Розіб'ємо область D на n часткових областей сіткою прямих, що відстоять одна від одної по осі х на відстані Dхi, а по осі y – на Dуi. Загалом кажучи, такий порядок розбивки необов'язковий, можлива розбивка області на часткові ділянки довільної форми й розміру. Одержуємо, що площа S ділиться на елементарні прямокутники, площі яких рівні Si = Dxi × Dyi. У кожній частковій області візьмемо довільну точку Р(хi, yi) і складемо інтегральну суму
де f – функція неперервна й однозначна для всіх точок області D. Якщо нескінченно збільшувати кількість часткових областей Di, тоді, очевидно, площа кожної часткової ділянки Si прямує до нуля.
Визначення: Якщо при прямуванні до нуля кроку розбивки області D інтегральні суми мають скінченну границю, то ця границя називається подвійним інтеграломвід функції f(x, y) по області D.
З врахуванням того, що Si = Dxi × Dyi одержуємо:
У наведенім вище записі є два знаки S, тому що підсумовування виробляється по двох змінним х і y. Оскільки ділення області інтегрування довільне, також довільний і вибір точок Рi, то, вважаючи всі площі Si однаковими, одержуємо формулу:
Умови існування подвійного інтеграла. Сформулюємо достатні умови існування подвійного інтеграла.
Теорема. Якщо функція f(x, y) неперервна в замкнутій області D, то подвійний інтеграл існує.
Теорема. Якщо функція f(x, y) обмежена в замкнутій області D і неперервна в ній усюди, крім кінцевого числа кусково-гладких ліній, то подвійний інтеграл існує.
Властивості подвійного інтеграла.
1)
2)
3) Якщо D = D1 + D2, то
4) Теорема про середнє. Подвійний інтеграл від функції f (x, y) дорівнює добутку значення цієї функції в деякій точці області інтегрування на площу області інтегрування.
5) Якщо в області D, то .
6) Якщо , то .
7) . Обчислення подвійного інтеграла.
Теорема. Якщо функція f(x, y) неперервна в замкнутій області D, обмеженої лініями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), де j і y – неперервні функції і , тоді
y y = y(x)
D
y = j(x)
a b x
Приклад. Обчислити інтеграл , якщо область D обмежена лініями: y = 0, y = x2, x = 2. y
D
0 2 x
= =
Теорема. Якщо функція f(x, y) неперервна в замкнутій області D, обмеженої лініями y = c, y = d (c < d), x = F(y), x = Y(y)( ), то
Приклад. Обчислити інтеграл , якщо область D обмежена лініями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.
y y = x D
0 x
Приклад. Обчислити інтеграл , якщо область інтегрування D обмежена лініями х = 0, х = y2, y = 2.
=
Приклад. Обчислити подвійний інтеграл , якщо область інтегрування обмежена лініями ху=1, y = , х = 2.
1.
2.
3.
Заміна змінних у подвійному інтегралі. Розглянемо подвійний інтеграл виду , де змінна х змінюється в границях від a до b, а змінна y – від j1(x) до j2(х). Покладемо х = f(u, v); y = j (u, v)
Тоді dx = ; dy = ;
оскільки при першому інтегруванні змінна х приймається за сталу, то dx = 0.
, тобто підставляючи цей вираз в записане вище співвідношення для dy, одержуємо:
Вираз називається визначником Якобіабо Якобіаномфункцій f(u, v) і j(u, v).
(Якобі Карл Густав Якоб – (1804–1851) – німецький математик)
Тоді Оскільки при першому інтегруванні наведений вище вираз для dx приймає вигляд ( при першому інтегруванні думаємо v = const, dv = 0), то при зміні порядку інтегрування, одержуємо співвідношення:
Подвійний інтеграл у полярних координатах. Скористаємося формулою заміни змінних:
При цьому відомо, що У цьому випадку Якобіан має вигляд:
Тоді Тут t – нова область значень,
Читайте також:
|
||||||||
|