Студопедия
Контакти
 


Тлумачний словник

Реклама: Настойка восковой моли




Авто | Автоматизація | Архітектура | Астрономія | Аудит | Біологія | Будівництво | Бухгалтерія | Винахідництво | Виробництво | Військова справа | Генетика | Географія | Геологія | Господарство | Держава | Дім | Екологія | Економетрика | Економіка | Електроніка | Журналістика та ЗМІ | Зв'язок | Іноземні мови | Інформатика | Історія | Комп'ютери | Креслення | Кулінарія | Культура | Лексикологія | Література | Логіка | Маркетинг | Математика | Машинобудування | Медицина | Менеджмент | Метали і Зварювання | Механіка | Мистецтво | Музика | Населення | Освіта | Охорона безпеки життя | Охорона Праці | Педагогіка | Політика | Право | Програмування | Промисловість | Психологія | Радіо | Регилия | Соціологія | Спорт | Стандартизація | Технології | Торгівля | Туризм | Фізика | Фізіологія | Філософія | Фінанси | Хімія | Юриспунденкция

Подвійні інтеграли.

Загрузка...

 

Розглянемо на площині деяку замкнуту криву, рівняння якої f (x, y) = 0.

 

y

 

0 x

 

 

Сукупність всіх точок, що лежать усередині кривої і на самій кривій назвемо замкнутою областю D. Якщо вибрати точки області без врахування точок, що лежать на кривій, область буде називається незамкнутою областю D.

З геометричної точки зору D – площа фігури, обмеженої контуром.

Розіб'ємо область D на n часткових областей сіткою прямих, що відстоять одна від одної по осі х на відстані Dхi, а по осі y – на Dуi. Загалом кажучи, такий порядок розбивки необов'язковий, можлива розбивка області на часткові ділянки довільної форми й розміру.

Одержуємо, що площа S ділиться на елементарні прямокутники, площі яких рівні Si = Dxi × Dyi.

У кожній частковій області візьмемо довільну точку Р(хi, yi) і складемо інтегральну суму

 

де f – функція неперервна й однозначна для всіх точок області D.

Якщо нескінченно збільшувати кількість часткових областей Di, тоді, очевидно, площа кожної часткової ділянки Si прямує до нуля.

 

Визначення: Якщо при прямуванні до нуля кроку розбивки області D інтегральні суми мають скінченну границю, то ця границя називається подвійним інтеграломвід функції f(x, y) по області D.

 

 

 

З врахуванням того, що Si = Dxi × Dyi одержуємо:

 

 

 

У наведенім вище записі є два знаки S, тому що підсумовування виробляється по двох змінним х і y.

Оскільки ділення області інтегрування довільне, також довільний і вибір точок Рi, то, вважаючи всі площі Si однаковими, одержуємо формулу:

 

 

Умови існування подвійного інтеграла.

Сформулюємо достатні умови існування подвійного інтеграла.

 

Теорема. Якщо функція f(x, y) неперервна в замкнутій області D, то подвійний інтеграл існує.

 

Теорема. Якщо функція f(x, y) обмежена в замкнутій області D і неперервна в ній усюди, крім кінцевого числа кусково-гладких ліній, то подвійний інтеграл існує.



Интернет реклама УБС

 

Властивості подвійного інтеграла.

 

1)

 

2)

 

3) Якщо D = D1 + D2, то

 

 

4) Теорема про середнє. Подвійний інтеграл від функції f (x, y) дорівнює добутку значення цієї функції в деякій точці області інтегрування на площу області інтегрування.

 

 

 

5) Якщо в області D, то .

 

6) Якщо , то .

 

7) .

Обчислення подвійного інтеграла.

 

Теорема. Якщо функція f(x, y) неперервна в замкнутій області D, обмеженої лініями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), де j і y – неперервні функції і , тоді

 

 

 


y y = y(x)

 

D

 

y = j(x)

 

a b x

 

Приклад. Обчислити інтеграл , якщо область D обмежена лініями: y = 0, y = x2, x = 2.

y

 

D

 

0 2 x

 

 

=

=

 

Теорема. Якщо функція f(x, y) неперервна в замкнутій області D, обмеженої лініями y = c, y = d (c < d), x = F(y), x = Y(y)( ), то

 

 

Приклад. Обчислити інтеграл , якщо область D обмежена лініями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

 

y

y = x

D

 

0 x

 

 

 

 

Приклад. Обчислити інтеграл , якщо область інтегрування D обмежена лініями х = 0, х = y2, y = 2.

 

 

=

 

Приклад. Обчислити подвійний інтеграл , якщо область інтегрування обмежена лініями ху=1, y = , х = 2.

 

 

 

 

1.

 

 

2.

 

 

 

 

3.

 

 

Заміна змінних у подвійному інтегралі.

Розглянемо подвійний інтеграл виду , де змінна х змінюється в границях від a до b, а змінна y – від j1(x) до j2(х).

Покладемо х = f(u, v); y = j (u, v)

 

Тоді dx = ; dy = ;

 

 

 

оскільки при першому інтегруванні змінна х приймається за сталу, то dx = 0.

 

, тобто

підставляючи цей вираз в записане вище співвідношення для dy, одержуємо:

 

 

Вираз називається визначником Якобіабо Якобіаномфункцій f(u, v) і j(u, v).

 

(Якобі Карл Густав Якоб – (1804–1851) – німецький математик)

 

Тоді

Оскільки при першому інтегруванні наведений вище вираз для dx приймає вигляд ( при першому інтегруванні думаємо v = const, dv = 0), то при зміні порядку інтегрування, одержуємо співвідношення:

 

 

Подвійний інтеграл у полярних координатах.

Скористаємося формулою заміни змінних:

 

При цьому відомо, що

У цьому випадку Якобіан має вигляд:

 

 

 

Тоді

Тут t – нова область значень,

 


Читайте також:

  1. Загальний розв'язок і загальний інтеграл. Частинний та особливий розв'язки. Проміжні та перші інтеграли.
  2. Подвійні зорі
  3. Тема 8. Зорі та їх класифікація. Подвійні зорі. Фiзичні змінні зорі. Планетні системи інших зір.

Загрузка...



<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Градієнт. | Геометричні й фізичні застосування кратних інтегралів.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:


 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.009 сек.