Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Подвійні інтеграли.

 

Розглянемо на площині деяку замкнуту криву, рівняння якої f (x, y) = 0.

 

y

 

0 x

 

 

Сукупність всіх точок, що лежать усередині кривої і на самій кривій назвемо замкнутою областю D. Якщо вибрати точки області без врахування точок, що лежать на кривій, область буде називається незамкнутою областю D.

З геометричної точки зору D – площа фігури, обмеженої контуром.

Розіб'ємо область D на n часткових областей сіткою прямих, що відстоять одна від одної по осі х на відстані Dхi, а по осі y – на Dуi. Загалом кажучи, такий порядок розбивки необов'язковий, можлива розбивка області на часткові ділянки довільної форми й розміру.

Одержуємо, що площа S ділиться на елементарні прямокутники, площі яких рівні Si = Dxi × Dyi.

У кожній частковій області візьмемо довільну точку Р(хi, yi) і складемо інтегральну суму

 

де f – функція неперервна й однозначна для всіх точок області D.

Якщо нескінченно збільшувати кількість часткових областей Di, тоді, очевидно, площа кожної часткової ділянки Si прямує до нуля.

 

Визначення: Якщо при прямуванні до нуля кроку розбивки області D інтегральні суми мають скінченну границю, то ця границя називається подвійним інтеграломвід функції f(x, y) по області D.

 

 

 

З врахуванням того, що Si = Dxi × Dyi одержуємо:

 

 

 

У наведенім вище записі є два знаки S, тому що підсумовування виробляється по двох змінним х і y.

Оскільки ділення області інтегрування довільне, також довільний і вибір точок Рi, то, вважаючи всі площі Si однаковими, одержуємо формулу:

 

 

Умови існування подвійного інтеграла.

Сформулюємо достатні умови існування подвійного інтеграла.

 

Теорема. Якщо функція f(x, y) неперервна в замкнутій області D, то подвійний інтеграл існує.

 

Теорема. Якщо функція f(x, y) обмежена в замкнутій області D і неперервна в ній усюди, крім кінцевого числа кусково-гладких ліній, то подвійний інтеграл існує.

 

Властивості подвійного інтеграла.

 

1)

 

2)

 

3) Якщо D = D1 + D2, то

 

 

4) Теорема про середнє. Подвійний інтеграл від функції f (x, y) дорівнює добутку значення цієї функції в деякій точці області інтегрування на площу області інтегрування.

 

 

 

5) Якщо в області D, то .

 

6) Якщо , то .

 

7) .

Обчислення подвійного інтеграла.

 

Теорема. Якщо функція f(x, y) неперервна в замкнутій області D, обмеженої лініями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), де j і y – неперервні функції і , тоді

 

 

 


y y = y(x)

 

D

 

y = j(x)

 

a b x

 

Приклад. Обчислити інтеграл , якщо область D обмежена лініями: y = 0, y = x2, x = 2.

y

 

D

 

0 2 x

 

 

=

=

 

Теорема. Якщо функція f(x, y) неперервна в замкнутій області D, обмеженої лініями y = c, y = d (c < d), x = F(y), x = Y(y)( ), то

 

 

Приклад. Обчислити інтеграл , якщо область D обмежена лініями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

 

y

y = x

D

 

0 x

 

 

 

 

Приклад. Обчислити інтеграл , якщо область інтегрування D обмежена лініями х = 0, х = y2, y = 2.

 

 

=

 

Приклад. Обчислити подвійний інтеграл , якщо область інтегрування обмежена лініями ху=1, y = , х = 2.

 

 

 

 

1.

 

 

2.

 

 

 

 

3.

 

 

Заміна змінних у подвійному інтегралі.

Розглянемо подвійний інтеграл виду , де змінна х змінюється в границях від a до b, а змінна y – від j1(x) до j2(х).

Покладемо х = f(u, v); y = j (u, v)

 

Тоді dx = ; dy = ;

 

 

 

оскільки при першому інтегруванні змінна х приймається за сталу, то dx = 0.

 

, тобто

підставляючи цей вираз в записане вище співвідношення для dy, одержуємо:

 

 

Вираз називається визначником Якобіабо Якобіаномфункцій f(u, v) і j(u, v).

 

(Якобі Карл Густав Якоб – (1804–1851) – німецький математик)

 

Тоді

Оскільки при першому інтегруванні наведений вище вираз для dx приймає вигляд ( при першому інтегруванні думаємо v = const, dv = 0), то при зміні порядку інтегрування, одержуємо співвідношення:

 

 

Подвійний інтеграл у полярних координатах.

Скористаємося формулою заміни змінних:

 

При цьому відомо, що

У цьому випадку Якобіан має вигляд:

 

 

 

Тоді

Тут t – нова область значень,

 


Читайте також:

  1. Загальний розв'язок і загальний інтеграл. Частинний та особливий розв'язки. Проміжні та перші інтеграли.
  2. Подвійні зорі
  3. Тема 8. Зорі та їх класифікація. Подвійні зорі. Фiзичні змінні зорі. Планетні системи інших зір.




Переглядів: 2450

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Градієнт. | Геометричні й фізичні застосування кратних інтегралів.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.005 сек.