Додавання імовірностей несумісних подій

Тема 3. Теореми додавання, множення імовірностей

На фундаменті міцному

будем класти поверхи,

перегородки та сходинки,

що їх з'єднають на віки.

Теорема 1. Імовірність об'єднання двох випадкових несумісних подій дорівнює сумі їх імовірностей

P(AUB)=P(A) +P(B)

Доведення. Нехай число усіх можливих елементарних наслідків появи подій А та В дорівнює n; m₁ та m₂ – число наслідків, що сприяють подіям А та В відповідно. Тоді події AUB будуть сприяти m₁ + m₂ наслідків. Отже, за класичним означенням ймовірності, маємо

P(AUB)= (m₁ + m₂ )/ n = m₁ / n + m₂ / n =P(A) +P(B) ,

Тобто твердження теореми доведено.

Зовсім аналогічно можна довести наступне твердження.

Теорема 2. Якщо випадкові події А₁, А₂,..., А_п попарно несумісні, то імовірність появи хоча б однієї з цих подій дорівнює сумі їх імовірностей

P(A₁ U A₂ U … U A) = Р(A₁) + Р(А₂) + … + Р(А_n).

Приклад 1. Імовірність влучення стрілком у першу область мішені дорівнює 0,45, у другу область – 0,35, у третю – 0,15. Знайти імовірність того, що при одному пострілі стрілок влучить у першу або другу області мішені.

Розв’язання.Позначимо за подію A₁ - влучення у першу область мішені; за подію А₂ - влучення у другу область мішені.

При одному пострілі події A₁ та А₂ несумісні. Тому імовірність влучення в першу або другу області мішені буде

Р(А₁ U А₂) = Р(А₁) + Р(А₂) = 0,45 + 0,35 = 0,8.

Теорема 3. Сума імовірностей повної групи випадкових подій дорівнює одиниці

Р(А₁) + Р(А₂) + … + Р(А_п) = 1. (3.1)

Доведення. Якщо випадкові події А₁, А₂,...,А_n утворюють повну групу, то вони попарно несумісні, а їх об'єднання буде достовірною подією. За Теоремою 2 маємо

(3.2)

Імовірність достовірної події дорівнює одиниці, тому

Р(А₁U А₂U …U А_n) = 1. (3.3)

Ліві частини рівностей (3.2) та (3.3) однакові, тому праві частини будуть рівними, тобто має місце рівність (3.1). Теорема доведена.

Наслідок. Дві протилежні події А та А утворюють повну групу, тому має місце рівність з якої одержуємо формулу знаходження імовірності протилежної події.

Приклад 2. Імовірність одержати повідомлення від певної особи на протязі доби дорівнює 0.25. Знайти імовірність того, що повідомлення на протязі доби від цієї особи не буде одержано.

Розв’язання.Позначимо за подію А повідомлення від цієї особи на протязі доби поступить. За умовою задачі має місце співвідношення Р(А)=0.25. Протилежна подія А означає, що на протязі доби від цієї особи повідомлення не поступить. За формулою одержимо

Р(А) = 1- 0.25 = 0.75.

У страховій справі треба вираховувати, наприклад, таку задачу.

Приклад 3. За статистичними показниками держави можна зробити висновок, що 68% чоловіків, які досягли 60-ліття, досягають також і 70-ліття. Яка Імовірність того, що 60-річний чоловік не досягне свого 70 річчя?

Розв’язання.. Якщо подія А – 60-річиий чоловік досягає свого 70-ліття, то протилежна подія А - 60-річний чоловік не досягає свого 70-ліття. За умовою задачі Р(А) = 0.68, тому за формулою (4) одержимо

Р() = 1-0.68 = 0.32.

Отже, використовуючи статистичні дані держави, можна обчислити імовірність того, що 32% 60-річних чоловіків помре на протязі 10 років.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Означення та властивості імовірності та частості	\|	Множення імовірностей

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.