• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Граничні теореми у схемі Бернуллі

Схема та формула Бернуллі

Тема 4. Повторення випробувань

Послідовно, по сходинках із граничних теорем піднімемось мов у ліфті до центральних теорем.

У багатьох задачах теорії імовірностей, статистики та повсякденної практики треба досліджувати послідовність (серію) n випробувань. Наприклад, випробування "кинуто 1000 однакових монет" можна розглядати як послідовність 1000 більш простих випробувань - "кинута одна монета". При киданні 1000 монет імовірність появи герба або надпису на одній монеті не залежить від того, що з'явиться на інших монетах. Тому можна казати, що у цьому випадку випробування повторюються 1000 разів незалежним чином.

Означення 1. Якщо усі п випробувань проводити в однакових умовах і імовірність появи події А в усіх випробуваннях однакова та не залежить від появи або не появи А в інших випробуваннях, то таку послідовність незалежних випробувань називають схемою Бернуллі.

Нехай випадкова подія А може з'явитись у кожному випробуванні з імовірністю Р(А) = р або не з'явитись з імовірністю q = Р() = 1 - р.

Поставимо задачу: знайти імовірність того, що при n випробуваннях подія А з'явиться m разів і не з'явиться n - m разів. Шукану імовірність позначимо Р_n(m).

Спочатку розглянемо появу події А три рази в чотирьох випробуваннях. Можливі такі події

ААА, ААА, ААА, ААА,

Тобто їх 4 = .

Якщо подія А з'явилася 2 рази в 4 випробуваннях, то можливі такі події

АА, АА, АА, АА, АА, АА,

Їх буде6 = .

У загальному випадку, коли подія А з'являється m разів у n випробуваннях, таких складних подій буде

.

Обчислимо імовірність однієї складної події, наприклад,

А·А···А·····.

m n—m

Імовірність сумісної появи n незалежних подій дорівнює добутку імовірностей цих подій згідно з теоремою множення імовірностей, тобто

Р(А·А···А·····) = Р(А·А···А) · Р(····) = P^m(A) ·Р^n-m() = p^m ·q^n-m.

m n—m m n—m

Кількість таких складних подій і вони несумісні. Тому, згідно з теоремою додавання імовірностей несумісних подій, маємо

P_n(m) = · p^m ·q^n-m. (4.1)

Формулу (4.1) називають формулою Бернуллі. Вона дозволяє знаходити імовірність появи події A m разів при n випробуваннях, які утворюють схему Бернуллі.

Зауваження 1.Імовірність появи події А в п випробуваннях схеми Бернуллі менш т разів знаходять за формулою

P_n(k < m) = Р_n(0) + Р_n(1) + … + Р_n (m - 1).

Імовірність появи події А не менше т разів можна знайти за формулою

P_n(k > m) = Р_n(m) + Р_n(m+1) + … + Р_n (n),

або за формулою

P_n(k > m) = 1 - .

Імовірність появи події А хоча б один раз у п випробуваннях доцільно знаходити за формулою

P_n(1≤ m ≤ n) = 1 - qⁿ.

Зауваження 2. У багатьох випадках треба знаходити найбільш імовірне значення то числа т появ події А. Це значення т визначається співвідношеннями

пр - q < m₀ < пр + р або (п + 1)р - 1 < m₀ < (n + 1)р.

Число m₀ повинно бути цілим. Якщо (п + 1)р - ціле число, тоді найбільше значення імовірність має при двох числах

т₁ = (n +1)р - 1 та т₂ = (п + 1)р.

Зауваження 3. Якщо імовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р, то кількість n випробувань, які необхідно здійснити, щоб з імовірністю Р можна було стверджувати, що подія А з'явиться хоча б один раз, знаходять за формулою

n > .

Приклад 1.Прилад складено з 10 блоків, надійність кожного з них 0,8. Блоки можуть виходити з ладу незалежно один від одного. Знайти імовірність того, що

а) відмовлять два блоки;

б) відмовить хоча б один блок;

в) відмовлять не менше двох блоків.

Розв’язання. Позначимо за подію А відмову блока. Тоді імовірність події А за умовою прикладу буде

Р(А) = р = 1 -0,8 = 0,2, тому q = 1 -р = 1 -0.2 = 0.8.

Згідно з умовою задачі n = 10. Використовуючи формулу Бернуллі та Зауваження 1, одержимо

а) Р₁₀(2) = · p² ·q⁸ =· (0.2)² (0.8)⁸ = 0.202,

б) Р₁₀(1<m≤10) = 1 - Р₁₀(0) =1 - ·(0.2)⁰ (0.8)¹⁰ = 0.8926,

в) Р₁₀(2≤m≤10) = 1 – (Р₁₀(0) + Р₁₀(1)) = 1 – (·(0.2)⁰ (0.8)¹⁰ + +·(0.2)¹ (0.8)⁹) = 0.6244.

Приклад 2.За одну годину автомат виготовляє 20 деталей. За скільки годин імовірність виготовлення хоча б однієї бракованої деталі буде не менше 0.952, якщо імовірність браку будь-якої деталі дорівнює 0.01?

Розв’язання. Застосовуючи формулу (2), знайдемо спочатку таку кількість виготовлених деталей, щоб з імовірністю р = 0.952 можна було стверджувати про наявність хоча б однієї бракованої деталі, якщо імовірність браку за умовою р = 0.01

n≥

Отже, за час t = 300/20 = 15 (годин) автомат з імовірністю 0.952 виготовить хоча б одну браковану деталь.

Приклад 3.При новому технологічному процесі 80% усієї виготовленої продукції має найвищу якість. Знайти найбільш імовірне число виготовлених виробів найвищої якості серед 250 виготовлених виробів.

Розв’язання. Позначимо шукане число m₀. Згідно Зауваження 2

пр - q ≤ m₀ ≤ пр + q.

За умовою прикладу n = 250, р = 0.8, q = 0.2, тому

199.8 ≤ m₀ ≤ 200.8.

Але m₀ повинно бути цілим числом, тому m₀ = 200.

Знаходження імовірностей Р_п(m) та P_n(m₁≤m≤m₂) за формулою Бернуллі ускладнюється при досить великих значеннях п та при малих р або q. У таких випадках часто можна використовувати замість формули Бернуллі наближені асимптотичні формули.

Вкажемо без доведення три граничні теореми, які містять наближені формули для імовірностей

Р_n(m) та P_n(m₁≤m≤m₂).

Теорема 1. (Теорема Пуассона.)Якщо п →∞ і р →0 так, що пр→λ , 0< λ <∞, то

для будь-якого постійного n = 0,1,2, …

Наслідок. Імовірність появи події А т разів у n випробуваннях схеми Бернуллі можна знаходити за наближеною формулою Пуассона

, (4.2)

де λ = пр.

Формулу (4.2) доцільно застосовувати при великих п та малих р.

Приклад 4.Підручник надруковано тиражем 100000 екземплярів. Імовірність невірного брошурування підручника дорівнює 0.0001. Знайти імовірність того, що тираж має 5 бракованих підручників.

Розв’язання. Брошурування кожного підручника можна розглядати як випробування. Випробування незалежні і мають однакову імовірність невірного брошурування, тому задача вкладається у схему Бернуллі. Згідно з умовою задачі n = 100000 досить велике; р = 0.0001 мала; m = 5.

Застосовуючи формулу Пуассона (4.2), одержимо

Р₁₀₀₀₀₀(5) ==0.0375.

Для наведення ще двох граничних теорем треба спочатку визначити локальну та інтегральну функції Лапласа та ознайомитись з їх основними властивостями,

Означення 2.Локальною функцією Лапласа називають функцію вигляду

Читайте також:

1. Аксіоми. Теореми. Ознаки.
2. Булеві теореми та закони
3. Використання квітів, яких немає в колірній схемі
4. Витрати виробництва та їх структура. Суть, види витрат. Закон спадної віддачі. Середні та граничні витрати.
5. Граничні витрати ресурсу і максимізація прибутку виробника
6. Граничні витрати та граничний дохід
7. Граничні витрати та граничний дохід
8. Граничні норми підіймання і переміщення важких речей неповнолітніми
9. Граничні норми підіймання та переміщення вантажів непованолітніми під час короткочасної та тривалої роботи
10. Граничні норми сумарної ваги ванажу для підлітків у розрахунку на 1 годину робочого часу
11. Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.

Переглядів: 2539