Середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини.

Основні властивості D(X).

Дисперсія та її властивості.

Математичне сподівання характеризує центр розподілу дискретної випадкової величини. Але цієї характеристики недостатньо, бо можливе значне відхилення можливих значень від центру розподілу. Для характеристики розсіювання можливих значень X відносно центру розподілу введемо нову числову характеристику.

Означення 2. Дисперсією дискретної випадкової величини X називають число, яке дорівнює математичному сподіванню квадрата відхилення ДВВ X від її математичного сподівання.

Дисперсію величини X позначають D(X) або D_Х. Це означення математичновиглядає так

D(X) = M((X-M(X))²). (6.2)

1) Дисперсія будь-якої ДВВ X невід'ємна

D(X) ≥ 0.

Дійсно, (X - М(Х))² невід'ємна, тому згідно означення математичного сподівання та властивостей імовірностей р_k, k = 1,2,..., n, D(X) також невід'ємна.

2) Дисперсія постійної величини С дорівнює нулеві

D(C) = 0.

Дійсно, якщо X = С, то М(С) = С, тому С - М(С) = 0.

3) Постійний множник С можна виносити за знак дисперсії, при цьому постійний множник треба піднести у квадрат

D(C) = C²D(X) (6.3)

Дійсно, СХ - М{СХ) = С{Х - М(Х)), тому

(СХ - М{СХ))² = С²(Х - М{Х))².

Постійний множник С² можна виносити за знак математичного сподівання, тому з формули (6.2) випливає потрібна рівність (6.3).

4) Дисперсія ДВВ X дорівнює різниці між математичним сподіванням квадрата випадкової величини X та квадрата її математичного сподівання

D(X) = M(X²) – (M(X))². (6.4)

Дійсно,

D(X) = M((X-M(X))²) = M((X² – 2XM(X) + M²(X))= M(X²) – 2M²(X) + +M²(X)= M(X²) – (M(X))².

Зауваження 3. Формула (6.2) визначає дисперсію випадкової величини X_t а за формулою (6.4) її доцільно знаходити.

5) Дисперсія алгебраїчної суми ДВВ X та У дорівнює сумі їх дисперсій

D(X±Y) = D(X) + D(Y).

Доведення. Спочатку доведемо цю властивість для X + Y. Згідно з формулою (6.4) маємо

D(X + Y) = М((Х + Y)²) - М²(Х + У) = М(Х² + 2XY + У²) - (М(Х)+M(Y))²= = М(Х²) + 2M(X)M(Y) + +M(Y²) - М²(Х) - 2M(X)M(Y) - M²(Y) =(М(X²) - М²(Х))+ + (M(Y²) - M²(Y)) = D(X) + D(Y).

Тепер розглянемо дисперсію різниці X та Y

D(X - У) = D(X) + (-1)² • D(Y) = D(X) + D(Y).

Зауваження 4. П'ята властивість дисперсії має місце для алгебраїчної суми не лише двох, але й скінченого числа дискретних випадкових величин.

Приклад 4. Знайти дисперсію випадкової величини X, що задана законом

X	-5
P	1/8	1/2	1/4	1/8

Розв’язання. Будемо шукати D(X) з використанням формули (6.4). Математичним сподіванням X згідно з формулою (6.1) буде

M(X) = (-5)·1/8 + 0·1/2 + 4·1/4 + 5·1/8 = 1 → M²(X) = 1.

Щоб знайти математичне сподівання X², тобто М(Х²), запишемо закон розподілу X² у вигляді таблиці

X²
P	1/8	1/2	1/4	1/8

Відмітимо, що усі значення X² отримані шляхом піднесення до квадрату відповідних значень X. Елементи другого рядка - імовірності цих значень - не змінюються.

За формулою (6.1) знаходимо

M(X²) = 25·1/8 + 0·1/2 + 16·1/4 + 25·1/8 = 82/8.

Згідно з формулою (6.4) тепер одержуємо

D(X) = 82/8 – 1 = 74/8 = 9.25.

У більшості випадків випадкова величина X має розмірність, наприклад, метр, міліметр, грам, тому її дисперсія D(X) буде вимірюватись у квадратних одиницях цієї розмірності.

У практичній діяльності доцільно знати величину розсіювання випадкової величини в розмірності цієї величини. Для цього використовують середнє квадратичне відхилення, яке дорівнює квадратному кореню з дисперсії і позначається

σ(X) = σ_X =

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Математичне сподівання та його основні властивості.	\|	Поняття моментів розподілу.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.