Закон розподілу та числові характеристики функції неперервного випадкового аргументу

Нехай X - неперервна випадкова величина, закон розподілу якої заданий диференціальної функцією розподілу (щільністю імовірностей) f(x); випадкова величина Y = φ(X).

Якщо φ - диференційовна функція, монотонна на усьому проміжку можливих значень X, то щільність розподілу функції Y = φ(X) визначають так

g(y) = f(ψ(y)) · | ψ’(х₁) | (8.8)

де ψ - функція, обернена по відношенню до функції φ, ψ’ - похідна першого порядку.

Якщо φ - не монотонна функція в області визначення аргументу X, то обернена функція неоднозначна і щільність розподілу g(y) визначається як сума додатків, кількість яких дорівнює кількості значень оберненої функції, тобто

(8.9)

де ψ_i(y) - обернені функції при заданому у.

Приклад 4. Випадкова величина X розподілена за нормальним законом з математичним сподіванням, що дорівнює нулеві. Знайти закон розподілу функції Y = Х³.

Розв’язання. Згідно означенню нормального розподілу неперервної випадкової величини X та умови прикладу диференціальна функція розподілу X має вигляд

Функція Y = X³ диференційовна, Y' = ЗХ² > 0 тому вона зростає для усіх х Є (-∞,∞). Отже, можна застосувати формулу (8.9) для знаходження диференціальної функції розподілу g(у) випадкової величини Y.

У даному випадку з рівності Y = X³ => X = , тобто

Тому формула (8.8) прийме вигляд

Для знаходження математичного сподівання від Y = φ(X) можна спочатку знайти g(у) - диференціальну функцію розподілу величини Y за формулою (8.8) або (8.9), а потім використати формулу

Але більш доцільно знаходити математичне сподівання функції неперервного випадкового аргументу φ(X) безпосередньо за формулою

, (8.10)

де f(x) - щільність імовірностей величини X.

Якщо величина X може приймати значення лише в проміжку [а, b], то формула (8.10) спрощується

. (8.11)

Приклад 5. Неперервна випадкова величина X задана диференціальною функцією розподілу

Знайти математичне сподівання функції Y = X².

Розв’язання. У даному випадку φ(X) = X², х є (0, π/2), тому за формулою (8.11) одержимо

Інтегруючи частинами два рази, одержимо потрібне математичне сподівання

Отже, одержали

M(Y) = M(X²) = π – 2.

Дисперсію функції Y неперервного випадкового аргументу X визначають звичайним чином D(Y) = =М(Y²) - М²(Y), а обчислюють за формулою

(8.12)

У випадку, коли X змінюється лише в проміжку [а, b], дисперсію функції Y = φ(X) знаходять за формулою

(8.13)

У формулах (8.12) та (8.13) f(x) - це щільність імовірностей неперервної випадкової величини X (диференціальна функція розподілу X).

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Закон розподілу та числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу	\|	Предмет і задачі математичної статистики.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.003 сек.