Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Вектори, лінійні операції над векторами

Означення. Вектором називається напрямлений відрізок. Позначати вектори будемо . Якщо, скажімо, точка А — початок вектора, а точка В — його кінець, то маємо .

Вектор, в якого початок і кінець збігаються, називається нульовим вектором.

Вектор вважається заданим, коли відома його довжина , і напрям щодо деякої осі.

Два вектори і називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Вектори і вважаються рівними, коли вони:

1) колінеарні;

2) однаково напрямлені;

3) їхні довжини рівні.

З останнього випливає, що при паралельному перенесенні вектора дістаємо новий вектор, що дорівнює попередньому, тому вектори в аналітичній геометрії називають вільними.

Нехай у просторі задано деяку вісь l і вектор. Проведемо через точки А і В площини, перпендикулярно до осі l (рис. 2.7). Позначимо точки перетину цих площин з віссю l відповідно і .

Рис. 2.7

Означення. Проекцією вектора на вісь l називається довжина напрямленого відрізка на осі l. Слід зазначити, що , якщо напрям збігається з напрямом l і , якщо напрям протилежний напряму l.

Позначається проекція вектора на вісь l — пр_l. З рис. 2.7 випливає формула знаходження проекції вектора на вісь:

пр_l= ,

де — кут між вектором і віссю.

Якщо розглянути прямокутну декартову систему координат і точки початку А (х₁, у₁, z₁) і кінця В (х₂, у₂, z₂) вектора , то проекції вектора на кожну з осей мають вигляд:

Ох: а_х = х₂ – х₁, Оу: а_у = у₂ – у₁, Оz: а_z = z₂ – z₁.

Довжина вектора подається формулою:

(2.4)

Якщо позначити a, b, g — кути між вектором і відповідними осями системи координат, то їх косинуси можна знайти за формулами:

. (2.5)

У подальшому називатимемо їх напрямними косинусами вектора . Піднісши кожну з формул (2.5) до квадрата і скориставшись (2.4), дістанемо:

cos²a + cos²b + cos²g = 1.

Дії з векторами виконуються за правилами:

1. Додавання:

= (а_х + b_х, а_у + b_у, а_z + b_z).

2. Множення вектора на число a Î R:

Для лінійних операцій з векторами виконуються властивості:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Теорема. Проекція суми двох векторів на вісь дорівнює сумі їхніх проекцій на цю вісь:

Теорема. При множенні вектора на число його проекція на цю вісь також множиться на це число:

Нехай вектори такі, що за напрямом збігаються відповідно з осями Ох, Оу, Оz і . Такі вектори надалі називатимемо одиничними векторами осей системи координат. Тоді

(2.6)

3. Скалярний, векторний, мішаний добуток векторів

Означення. Скалярним добутком двох ненульових векторів і називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то кут між векторами не визначений і за означенням скалярний добуток дорівнює нулю.

Отже:

де j — кут між векторами. Використовуючи формулу проекції вектора, можна також записати:

Властивості скалярного добутку:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. якщо і навпаки, якщо .

Нехай вектори і задано за допомогою (2.6), тоді, використовуючи властивості скалярного добутку, умови маємо:

(2.7)

Отже,

З рівності (2.7) випливає, що:

1. Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності векторів і є а_х b_х + а_у b_у + а_z b_z = 0.

2. Кут між двома векторами і можна знайти за формулою:

Означення. Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , якщо:

1) довжина вектора , де j — кут між двома векторами;

2) вектор перпендикулярний до кожного з векторів і

Рис. 2.8

3) вектор спрямований так, що коли дивитися з його кінця на площину, в якій лежать вектори і , то поворот вектора до вектора відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.

Модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах як на сторонах.

Властивості векторного добутку:

1. , якщо і — колінеарні вектори.

2. .

3. .

4. .

Знайдемо векторні добутки одиничних векторів . З колінеарності векторів випливає: . З того, що одиничні вектори збігаються з напрямом осей прямокутної системи координат, маємо:

Знайдемо координати вектора , якщо , .

(2.8)

або

Означення. Мішаним добутком векторів називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора на векторний добуток векторів і , тобто .

Рис. 2.9

Розглянемо геометричний зміст мішаного добутку. Для цього побудуємо на векторах , вважаючи, що вони не лежать в одній площині, тобто не компланарні, паралелепіпед (рис. 2.9).

Знайдемо об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах (рис. 2.9). Площа основи його дорівнює модулю векторного добутку векторів . Висота дорівнює . Отже, остаточно маємо:

. (2.9)

З останнього випливає, що модуль мішаного добутку чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах . З рівності (2.9) маємо умову компланарності трьох векторів .

Враховуючи формули (2.7) і (2.8) знаходження скалярного і векторного добутків, маємо:

або

Властивості мішаного добутку:

1. .

2. .

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Бюджетне прогнозування	\|	Найпростіші задачі аналітичної геометрії

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.