Графічне зображення цільової функції двох змінних

Багато параметричну задачу оптимізації зручно розглядати з двома параметрами xі y. Ці параметри разом з цільовою функцією створюють трьохвимірний простір, що має координати x, y, f. Зміна значень цільової функції f(x,y) буде деякою поверхнею. Задачею оптимізації буде знаходження найнижчої точки цієї поверхні. (рис. 7.1).

Можна перетнути цю поверхню паралельними площинами, які відповідають деяким постійним значенням цільової функції f(x,y)= C₁, f(x,y)= C₂ , f(x,y)= C₃ і т. д. Причому відстань між цими площинами може бути постійна С_і+1 - С_і = const. Зробимо проекцію ліній перетину площинами С поверхні цільової функції на площину параметрів оптимізації x i y. Отримані проекції називаються лініями постійного рівня цільової функції f(x,y). Отриманий рисунок подібний до топографічного зображення рельєфу місцевості і по ньому видно де знаходяться екстремальні точки рішення задачі. В залежності від виду ліній рівня рельєфи проекції цільової функції на площину параметрів оптимізації поділяються на котловинний, яристий і неупорядкований.

Рис.7.2. Цільова функція з рельєфом котловинного виду

Лінії рівня у рельєфів котловинного виду мають еліпсоїдальну форму. Дивись рисунок 7.2 для функції f(x,y)= 8x² + 4xy + 5y². У функцій, які мають такий тип рельєфу, при наближенні до екстремальної точки суттєві зміни параметрів оптимізації не дають помітних змін цільової функції. Пошук оптимума у функцій такого виду виконується без складнощів.

Якщо при побудові ліній рівня одна координата, параметр оптимізації, значно більша за іншу, або, якщо цільова функція недеференціюється, то тоді рельєф ліній набуває яристого виду. При обчисленні мінімальних значень для функцій , які мають такий вид рельєфу, виникають великі складнощі. На рис. 7.3 показана типова траекторія руху методом найскорішого спуску до оптимума функції, що має яристий рельєф.

Рис. 7.3 Цільова функція з рельєфом яристого виду

Рис. 7.4. Цільова функція з рельєфом неупорядкованого виду

Рівняння що відображене лініями рівня на рис. 7.3 має вигляд: f(x,y)=10(0,3y – x²)² + (1 – 20x)².

При наявності багатьох мінімумів, максимумів і сідловин рельєф функції має непорядкований вид. Наприклад для функції f(x,y)= x²+ y² – cos(4x) – cos(7y) (рис. 7.4). Для функцій такого виду, як правило, можна знайти тільки локальний екстремум.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Приклад 7.1. Перевірка точки на екстремум	\|	Точність і ефективність обчислень

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.003 сек.