Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Приймаючи до уваги, що

В рівнянні (2.11) необхідно врахувати фактор часу, тобто фактично всі змінні залежать від часу – x(t),U(t),z(t). Коефіцієнти диференціального рівняння називають параметрами, значення яких визначаються особливостями об’єкта: конструктивними і режимними, наприклад швидкістю протікання процесів, константами тепло- та масообміну, хімічних реакцій. Якщо розглядаються нестаціонарні системи, то коефіцієнти диференціального рівняння залежать від часу - .

Лінійні диференціальні рівняння АСР

В загальному випадку динамічні властивості одноконтурної АСР описуються диференціальним рівнянням виду:

(2.11)

де: X,U,z – координати стану (регульована координата) та вхідні змінні – керуюча дія та збурення, - коефіцієнти;

Зручною формою запису рівняння (2.11) є операторна, або символічна. Для цього вводиться оператор

. (2.12)

З урахуванням (2.12) диференціальне рівняння (2.11) в операторному вигляді має вид:

(2.13)

або:

, (2.14)

де: - власний оператор;,- оператори діянь.

Лінійні диференціальні рівняння першого, другого, а часом і більш високих порядків записують в стандартній(канонічній) формі, коли вихідна координата та її похідні знаходяться в лівій частині рівняння, вхідні змінні – в правій частині, а коефіцієнт при Х дорівнює одиниці. Наприклад, диференціальне рівняння першого порядку (n=1) має вид:

, (2.15)

Для приведення до стандартної форми поділимо вираз (2.15) на , тоді

, (2.16)

де: - постійна часу; ;- коефіцієнти передачі відповідно за керуючою дією та збуренням.

Стандартна форма диференційного рівняння дозволяє оцінити деякі важливі показники елемента чи системи: постійна часу T завжди має розмірність часу (с, хв) і визначає інерційність системи, наприклад тривалість перехідного процесу tn=(34)T. Коефіцієнти передачі також мають важливий фізичний зміст: вони показують, наскільки змінилась вихідна величина при зміні вхідної на одиницю. Наприклад, оцінюється змінювання температури при зміні подачі пари, тоді розмірність коефіцієнта передачі буде . Часто керуючу дію оцінюють в одиницях переміщення регулюючого органу, його коефіцієнт передачі має розмірність (хРО – хід регулюючого органу).

Диференціальне рівняння (2.11) описує поведінку системи в динаміці, його розв’язком є перехідні процеси при різних вхідних діяннях та заданих початкових умовах:

, (2.17)

де: - вільна складова, в стійких системах з часом зникає, це перехідна складова;

- змушена, усталена складова, це те значення, до якого прямує x(t) при t→.

Розв’язок диференціальних рівнянь знаходять, виконуючи такі етапи: знаходження загального розв’язку однорідного рівняння, частинного неоднорідного, загального та власне розв’язку з числовими значеннями постійних коефіцієнтів. Вільна складова – це розв’язок оператора (рівняння 2.13) і він має n складових (n – порядок системи):

, (2.18)

де: - постійні інтегрування; - корені полінома .

З диференціальних рівнянь можна отримати також рівняння статики, прирівнявши похідні нулю (p=0). Для рівняння (2.15) статична характеристика буде

, (2.19)

 

Передаточні функції.В теорії автоматичного керування зручною і найбільш наочною формою визначення закономірностей перетворення вхідних сигналів є предаточна функція. В операторному вигляді – це відношення оператора дії до власного оператора, причому кількість передаточних функцій дорівнює кількості вхідних сигналів:

, (2.20)

, (2.21)

тобто (2.22)

Передаточні функції мають нулі (корені рівняння R(p)=0) і полюси (корені рівняння D(p)=0). На основі виразів (2.20)-(2.22) визначається фундаментальна залежність:

, (2.23)

Таким чином, передаточні функції мають чіткий фізичний зміст: показують як перетворюється вхідний сигнал (передається з входу на вихід). Передаточні функції зручно отримувати з диференціальних рівняннь в операторному вигляді, наприклад рівняння (2.16) можна записати так:

, (2.24)

тоді

, (2.25)

Передаточні функції можуть бути також в формі зображень Лапласа:це відношення зображення вихідної величини до зображення вхідної за нульових початкових умов. Формально це можна отримати підстановкою в (2.20)-(2.22) р=s (s-комплексне число), але це справедливо лише для стаціонарних систем, тоді

, (2.26)

 

Частотні характеристики.При розв’язанні задач аналізу та синтезу необхідно оцінювати також властивості елементів та систем в частотній області, при різних частотах вхідних сигналів. Частотні характеристики – це реакція елемента чи системи на гармонійний сигнал (2.9) при змінюванні частоти від 0 до . Вихідний сигнал відрізняється від вхідного амплітудою та фазою:

, (2.27)

Динамічні властивості досліджуваних елементів чи систем визначаються амплітудно-частотною А(ω), фазо-частотною φ(ω) та амплітудно-фазовою характеристиками (рис.2.4).

 

               
   
   
 
   
б)

 


ω=0

 

 


Рис.2.4 Частотні характеристики,а - амплітудно-частотна (АЧХ); б - фазо-частотна (ФЧХ); в - амплітудно-фазова (АФХ)

При збільшенні ω амплітудно-фазова характеристика А(ω)→0, тобто проявляються інерційні властивості елемента та системи. Чим менша інерційність, тим ширша А(ω), тобто більша смуга (діапазон) пропускаємих частот. Часто існує резонансна частота, коли А(ωр) має максимальне значення.

Фазо-частотна характеристика φ(ω) від’ємна, тобто вихідні коливання відстають від вхідних за фазою.

На комплексній площі А(ω) та φ(ω) об’єднуються в одну - амплітудно-фазову характеристику (АФХ) – рис.2.4,в. Це крива (годограф), яку описує кінець вектора А при зміні частоти від 0 до . Проеції вектора на дійсну (Rе) та уявну (Im) осі – дійсна U(ω) та уявна V(ω) частотні характеристики.

Важливою особливістю лінійних систем є те, що частота вхідних та усталених вихідних (після зникнення перехідної складової) сигналів співпадають. Крім того, якщо розглядати відношення амплітуд вихідного та вхідного сигналів, то при ω=0 – це коефіцієнт передачі

( А(0)=К ).

Частотну характеристику можна отримати підстановкою р=jω в вираз для передаточної функції, наприклад (2.20), тоді

, (2.28)

Цей вираз називають частотною передаточною функцією, яку можна подати у вигляді:

, (2.29)

де: , (2.30)

(2.31)

В загальному випадку виконують такі перетворення: записують вираз:

, (2.32)

після чого звільняються від уявності в знаменнику:

, (2.33)

де: (2.34)

, (2.35)

В практичних розрахунках користуються також логарифмічними частотними характеристиками, побудованими в логарифмічних координатах, тому їх можна замінити ломаними лініями, складеними з кількох прямолінійних відрізків. Крім того, в логарифмічних координатах легко знаходити характеристики різних з’єднань елементів: операціям множення і ділення відповідають додавання та віднімання ординат логарифмічних характеристик, наприклад:

; , (2.36)

Амплітудно-фазові характеристики будуються в координатах , фазочастотні - . Одиницею довжини по осі частот є декада – інтервал частот між ωі та 10ωі. Ординати логарифмічної амплітудно-частотної характеристики вимірюють в логарифмічних одиницях – белах (Б) або децибелах (дБ), що відповідає відношенню потужностей двох сигналів: якщо потужність одного сигналу більша (або менша) іншого в 10 разів, тоді потужності відрізняються на 1Б (lg10=1). Потужність гармонійного сигналу пропорційна квадрату його амплітуди, тому при вімірюванні відношення амплітуд перед логарифмом необхідно враховувати множник 2. Наприклад, на деякій частоті А(ω) =100, що означає різницю вхідного і вихідного сигналів в 1002 разів, тобто 2·lg100=4Б (40 дБ), а L(ω)=20·lgА(ω)=40 дБ.

За видом частотних характеристик всі елементи і системи поділяються на дві групи: мінімально-фазові і немінімально-фазові. Мінімально-фазовими називають такі елементи і системи, для яких всі нулі та полюси передаточної функції W(p) мають від’ємні дійсні частини та фазовий зсув φ(ω) є мінімальним в порівнянні з іншими елементами, які мають таку ж амплітудно-частотну характеристику А(ω), але хоча б один полюс чи нуль у них має додатню частину. Для мінімально-фазових елементів і систем достатньо знати А(ω), U(ω) i V(ω) для повної оцінки їх характерстик.

 

Часові характеристики.Це реакція елемента чи системи на типові вхідні сигнали – стрибкоподібний чи імпульсний (рис.2.5).

Часові функції є наочними, за їх видом можна оцінити загальні властивості елемента чи системи, які визначають їх динамічні особливості. З математичної точки зору часові характеристики є розв’язком диференціального рівняння, яке описує поведінку елемента чи системи в залежності від виду зовнішнього сигналу (це визначається правою частиною диференціального рівняння) та початкових умов, як правило нульових. Перехідна функція h(t) (рис.2.5,а) – зміна вихідної величини з часом при подачі на вхід одиничного ступінчатого сигналу за нульових початкових умов.

       
   
 

 


Рис.2.5. Часові характеристики: а) – перехідна функція h(t)

б) – імпульсна перехідна функція w(t)

 

Імпульна перехідна функція w(t) (рис.2.5,б) – зміна вихідної велечини з часом після подачі на вхід сигнала у вигляді -функції. Цю характеристику називають також ваговою функцією, або функцією ваги.

В задачах аналізу та синтезу використовуються різні динамічні характеристики, тому важливо знати і зв’язок між ними, який є однозначним тому, що фактично – це відображення одних і тих же властивостей елемента чи системи в різній формі. В той же час це дає можливість використовувати в конкретній задачі саме такі характеристики, які є найбільш зручними. Вище вже вказувалось, що перехідна функція h(t) – розв’язок диференціального рівняння. Враховуючи, що -функція і одиничний стрибок зв’язані між собою залежністю

, (2.37)

справедливі також залежності:

, (2.38)

зображення за Лапласом одиничного стрибка

, (2.39)

тому , (2.40)

, (2.41)

де: - символ зворотнього перетворення Лапласа.

, (2.42)

можна записати:

, (2.43)

Реакція елемента чи системи на довільний вхідний сигнал визначається за допомогою інтеграла згортки ( інтеграл Дюамеля ):

, (2.44)

. (2.45)


Читайте також:

  1. Питання 6. Наслідки міжнародної трудової міграції для мігрантів, приймаючих країн та країн-донорів




Переглядів: 1153

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Динамічні характеристики елементів і систем. | Типові елементарні ланки та їх характеристики

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.009 сек.