Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Implicitdiff(f, y, x1,...,xk)

implicitdiff({f1,...,fm}, {y1,...,yn}, u, x)

implicitdiff({f1,...,fm}, {y1,...,yn}, u, x1,...,xk)

implicitdiff({f1,...,fm}, {y1,...,yn}, {u1,...,ur}, x)

implicitdiff({f1,...,fm}, {y1,...,yn}, {u1,...,ur}, x1,...,xk)

Де f, f1,...,fm – алгебраїчні рівняння (одне рівняння), що задають неявну функцію, або систему неявних функцій;

y, y1,...,yn - імена залежної змінної, або змінних;

u,u1,...,ur - імена залежних змінних, похідні від яких будуть знайдені;

x,x1,...,xk . – імена змінної, або змінних по яким відбуватиметься обчислення похідної, порядок частинної похідної визначається кількістю та іменами змінних.

Наступний приклад демонструє обчислення першої та другої похідної від неявно заданої функції однієї змінної.

 

> f:=sin(x+y)-x*y=0;    
>implicitdiff (f,y,x);
>implicitdiff (f,y,x,x);    

Наступний приклад демонструє обчислення частинних похідних першого та другого порядку від неявної функції двох змінних.

>g:=z^3+3*x^2*z=2*x*y;
> implicitdiff(g,z,x);
>implicitdiff(g,z,y);
>implicitdiff(g,z,y,y);
>implicitdiff(g,z,x,x);
>implicitdiff(g,z,x,y);

Наступний приклад демонструє знаходження частинних похідних першого та другого порядку від двох неявних функцій двох незалежних змінних u=u(x,y), v=v(x,y), які задані системою рівностей:

> fu:=x*u-y*v=0; > fv:=y*u+x*v=1;  

Далі обчислюються частинні похідні першого порядку від функцій u=u(x,y), v=v(x,y).

>implicitdiff({fu,fv}, {u,v},{u,v},x,notation=Diff);
>implicitdiff({fu,fv}, {u,v},{u,v},y,notation=Diff);

В наступному прикладі провадиться обчислення другої змішаної похідної від функцій u=u(x,y), v=v(x,y).

>implicitdiff({fu,fv},{u,v},{u},x,y,notation=Diff);
>implicitdiff({fu,fv},{u,v},{v},x,y,notation=Diff);

Заміна змінних у диференціальних виразах

В системі MAPLE існує можливість проводити заміну змінних в диференціальних виразах як однієї незалежної змінної так і декількох незалежних змінних. Для цього можна використовувати функцію dchange() пакету PDEtools. Яка має наступний вигляд dchange(tr, expr), де tr –множина алгебраїчних рівностей, які містять в лівій частині старі незалежні змінні, а в правій частині вирази від нових незалежних змінних.

В наступному прикладі для звичайного диференціального рівняння третього порядку введена заміна змінних z=et

>with(PDEtools):  
>assume(z>0);  
>g:=diff(y(z),z$3)=6*y/z^2;
>simplify(dchange(z=exp(t),g)*exp(3*t));

В наступному прикладі для лінійного диференціального рівняння першого порядку з двома незалежними змінними введена заміна змінних

> pr:={xi=x+y,eta=x-y};
> pr1:=solve(pr,{x,y});
>dd:=diff(z(x,y),x)= diff(z(x,y),y);
>dchange(pr1,dd);
> -(rhs(%)-lhs(%)=0)/2;

Вказані функції виконують заміну лише незалежних змінних в диференціальних виразах. В той же час іноді виникає необхідність провести заміну змінних в більш складному випадку.

Розглянемо наступну задачу:

Ввівши нові змінні , перетворити наступне звичайне диференціальне рівняння:

Для розв`язання цієї задачі опишемо диференціальне рівняння та нові змінні: незалежну змінну t та залежну змінну u(t)

>eq:=diff(z(x),x$3)-x*diff(z(x),x$2)+x*diff(z(x),x)-z(x)=0;
x:=t->1/t;y:=t->u(t)/t;

Обчислимо похідні, що входять до диференціального рівняння, використовуючи при цьому процедуру параметрично заданої функції Pdiff

>y1:=simplify(Pdiff(y,x))(t);
>y2:=simplify(Pdiff(Pdiff(y,x), x)(t));
>y3:=simplify(Pdiff(Pdiff(Pdiff(y,x),x),x)(t));

>eq1:=simplify(subs(diff(z(x),x$3)=y3,diff(z(x),x$2)=y2,diff(z(x),x)=y1,z(x)=y(t),eq));

>eq2:=normal(subs(x=1/t,eq1));

>eq3:=collect(eq2,diff);

Обчислення сум послідовностей та сумування числових рядів.

Для обчислення сум послідовностей в системі MAPLE існує стандартні функції sum та її інертна форма функція Sum. Функції мають наступну форму:

sum(f,k) sum(f,k=m..n), sum(f,k=alpfa)

Sum(f,k) Sum(f,k=m..n), Sum(f,k=alpfa)

Тут f – функція, що задає члені послідовності, яка залежить від k, k – індекс сумування, m та n – цілочисельні границі зміни індексу сумування., alpfa – вираз типу RootOf(z). В цьму випадку індекс k приймає значення з множини коренів рівняння z=0.

Перша форма суми sum(f,k) еквівалентна формі sum(f,k=1..k-1).

 

>sum('k'^3,'k');
>sum('k'^3,'k'=1..'k-1');
>Sum(-(-1)^'k'/'k','k'=1..infinity)= sum(-(-1)^'k'/'k','k'=1..infinity);
> Sum(1/('n'*('n'+1)),'n'=1..infinity)= sum(1/('n'*('n'+1)),'n'=1..infinity);
>Sum(sin('k'*x)/(2^'k'),'k'=1..infinity)=simplify(sum(sin('k'*x)/(2^'k'),'k'=1..infinity));
>Sum(1/'k','k'='m'..'n')=sum(1/'k','k'= 'm'..'n');

Слід зауважити, що при обчисленні сум послідовностей необхідно строго додержуватися прямого (зростаючого) порядку задання значення індексної змінної суми.

Обчислення добутків членів послідовностей.

Для обчислення добутків членів послідовності в системі MAPLE використовуються стандартні функції

product(f,k) product(f,k=m..n), product(f,k=alpfa)

Product(f,k) Product(f,k=m..n), Product(f,k=alpfa)

Параметри функцій product мають зміст аналогічний параметрам функції sum.

>Product(('n'^2-4)/('n'^2-1), n=3..infinity)=product(('n'^2-4)/('n'^2-1), n=3..infinity);
Product((1-x^2/('n'^2*Pi^2)), 'n'=1..infinity)= product((1-x^2/ ('n'^2*Pi^2)),'n'=1..infinity);  
>Product(1-1/'n'^2,'n'=2..'k')= product(1-1/'n'^2,'n'=2..'k');
>Product(1-1/'n'^2,'n'=2..infinity)= product(1-1/'n'^2,'n'=2..infinity);

Слід зауважити, що при обчисленні добутків послідовностей необхідно строго додержуватися прямого (зростаючого) порядку задання значення індексної змінної суми.

Розвинення функцій в ряди.

Для розвинення аналітичних функцій в ряд Тейлора або ряд Маклорена в заданій точці в системі MAPLE використовується стандартні функції taylor(), mtaylor(). Перша функція використовується для функцій однієї змінної , а друга для функцій багатьох змінних.

Функція taylor() має формат taylor(exp, x=a, n), де exp – вираз, що залежить від x, або функція, x=a, задає точкудля якої здійснюється розвинення в ряд, n – необов`язковий параметр, що задає кількість членів розвинення, при його відсутності за замовчанням кількість членів розвинення дорівнює 6.

Функція mtaylor() має вигляд mtaylor(f,v,n) де f – вираз або функція, що залежить від декількох змінних. v – список рівностей виду [x=a,y=b,…z=c], обо просто список змінних [x,y,…z], n – необов`язковий параметр, який вказує на максимальну сумарну ступінь в розвиненні, на якій обривається розвинення.

 

>taylor(ln(cos(x)),x,8);
>taylor((sin(x^3))^(1/3),x,20);
> taylor(x^x-1,x=1);
>taylor(sqrt(1+x^2)-x, x=infinity);

Розкласти в ряд Маклорена функцію с точністю до множників, що містять похідні п`ятого порядку.

> mtaylor(ln(1+x+y),[x,y]);    

Розкласти в ряд Тейлора зі збереженням членів до п`ятого порядку включно функцію в околі точки .

>mtaylor(x^y,[x=1, y=1],4);  

Розкласти в ряд Маклорена функцію с точністю до множників, що містять похідні шостого порядку.

>mtaylor((1-x^2-y^2)^(1/2),[x,y],7);

У випадку, коли е необхідність знайти лише деякі коефіцієнти у розвинені функції в ряд Тейлора або Маклорена у системі MAPLE використовується стандартна функція coeftayl(exp,var,k), де exp – функція декількох змінних, var – рівність вигляду [x,y…z]=[a,b,…c], якій задає точку розвинення функції в ряд, k – список, елементами якого є цілі числа [l1,l2,…ls], який фіксує коефіцієнт розвинення.

Наступні приклади обчислюють коефіцієнт при для функції та коефіцієнт при для функції . .

>coeftayl( (1-x^2-y^2)^(1/2),[x,y]=[0,0],[2,4]);
>coeftayl(x^y,[x,y]=[1,1],[4,1]);

Для розвинення в ряди функцій в особливих точках, розвинення в ряд Тейлора не існує, тому замість рядів Тейлора та Маклорена для особливих точок функцій (точок в яких не існують похідні функції) застосовувати більш загальне розвинення в степеневий ряд, який може містити не тільки цілі додатні степені, а й дробові степені та від’ємні степені. Це розвинення може бути отримане за допомогою функції series(expr,egn,n), де expr – вираз, що розкладається в ряд, egn – умова виду x=a, або x, яка вказує точку для якої відбувається розвинення, n – необов`язковий параметр, який вказує на кількість членів ряду.

>series(x*(tan(x))^3,x=Pi/2,5);    
>series(exp(x)/(sin(x)^(1/3)),x=0);  
>series(x^x, x=0, 5);
>taylor(x^x, x=0, 5); does not have a taylor expansion, try series()
>series((sin(x))^ (1/7)/x^(1/2), x=0, 7);

Обчислення невизначених інтегралів

Невизначені інтеграли в MAPLE обчислюються за допомогою стандартної процедури int(exp,x), яка має також інертну форму Int(exp,x), де exp – підінтегральна функція, x – змінна інтегрування. Інертна форма процедури інтегрування використовується для символьного запису невизначеного інтегралу.

Розглянемо приклади застосування процедур знаходження невизначеного інтегралу.

>Int(1/(x^2+1)^(3/2),x)= int(1/(x^2+1)^(3/2),x);
> f:=x-> (x^2+5*x+4)/(x^4+5*x^2+4);
> Int(f(x),x)=int(f(x),x);

Наступний приклад демонструє можливість обчислення визначеного інтегралу від функцій, що задані у вигляді “фігурної дужки”.

> g:=x-> piecewise(x<=0,sin(x),x>0 and x <=1,x^2,x^3);
> g(x);
> gg:=x->int(g(x),x);
> gg(x);

Приклад демонструє можливість обчислення визначеного інтегралу від функції, що залежить від параметрів.

>Int(exp(alpha*x)*cos(b*x),x)= combine(int(exp(alpha*x)* cos(b*x),x));
> collect(%,exp);

Обчислення визначених інтегралів

Для обчислення визначених інтегралів в системі MAPLE використовується процедура int() та її пасивна форма Int() з такими параметрами виклику. int(exp, x=a..b), де exp підінтегральна функція, x – змінна інтегрування, a,b – відповідно верхня та нижня межа інтегрування.

Розглянемо приклади обчислення визначених інтегралів.

> Int(1/(sin(x)^4+cos(x)^4),x=0.. 2*Pi)=int(1/(sin(x)^4+cos(x)^4), x=0..2*Pi);
>assume(a>=0);  
> Int(x^2*sqrt(a^2-x^2),x=0..a)= int(x^2*sqrt(a^2-x^2),x=0..a);
> assume(b<1 and b>0);  
> Int(x*abs(x-b),x=0..1)= int(x*abs(x-b),x=0..1);

Дуже часто виникає потреба в обчисленні невласних інтегралів першого або другого роду. Нагадаємо, що невласними інтегралами першого роду називають визначені інтеграли в яких хоча б одна межа інтегрування є нескінченою. Невласними інтегралами другого роду називається визначені інтеграли в яких підінтегральна функція принаймні в одній точці інтервалу інтегрування перетворюється в нескінченість.

Розглянемо приклади обчислення невласних інтегралів першого роду.

>Int(1/(x^2+x+1)^2,x=-infinity.. infinity)=int(1/(x^2+x+1)^2,x=-infinity..infinity);
>int(ln(1+x)/x^n,x=0..infinity);
>Int(x^2*cos(exp(x)),x=0..infinity)=int(x^2*cos(exp(x)),x=0..infinity);  

Останній приклад демонструє, що система MAPLE не в змозі провести аналітичне обчислення інтегралу і тому лише повторює символічну форму запису останнього.

Розглянемо приклади обчислення невласних інтегралів другого роду.

> int(ln(sin(x)),x=0..Pi/2);

У цьому прикладі підінтегральна функція є необмеженою в точці

> int(1/(1-cos(2*x)),x=0..Pi/4);

Цей приклад демонструє, що інтеграл є розбіжним за рахунок сильного зростання підінтегральної функції в точці

>Int(1/(3-x)^(1/2),x=1..3)= int(1/(3-x)^(1/2),x=1..3);

Підінтегральна функція необмежено зростає в точці , проте інтеграл приймає скінчене значення.

Головне значення за Коші для невласних інтегралів

Іноді невласний інтеграл від необмеженої функції не існує, але він може існувати в дещо послабленому розумінні, а саме може існувати його головне значення за Коші. Це головне значення можна позначити та записати у вигляді.

Для невласних інтегралів на необмеженому інтервалі теж можна розглядати певне послаблення невласного інтегралу, а саме його головне значення за Коші, яке можна позначити та записати у вигляді:

Для обчислення головного значення за Коші невласного інтеграла першого або другого роду використовується функція . int(exp, x=a..b ,'CauchyPrincipalValue'), де параметр 'CauchyPrincipalValue’' вказує на необхідність розглядати відповідний невласний інтеграл за його головним змачення за Коші.

>int(cos(x)/x^3, x=-Pi/2..Pi/2,' CauchyPrincipalValue');
>int(cos(x)/x^3, x=-Pi/2..Pi/2);

Попередній приклад демонструє, що головне значення інтегралу за Коші, дорівнює нулю, але в звичайному розумінні невласний інтеграл не існує.

> int(1/(x^2-3*x+2),x=0..infinity, 'CauchyPrincipalValue');

Цей приклад демонструє наявність головного значення за Коші невласного інтегралу другого та першого роду одночасно. Як інтеграл другого роду підінтегральна функція має необмежене зростання в точках . В звичайному розумінні невласний інтеграл не існує, про що свідчить наступне обчислення в системі MAPLE.

>int(1/(x^2-3*x+2),x=0..infinity);

Обчислення подвійних інтегралів.

Для обчислення подвійних інтегралів в системі MAPLE не існує спеціальної окремої процедури, тому обчислення усіх подвійних інтегралів у випадку, коли область інтегрування є простою, тобто обмежена контуром першого або другого роду, згідно до загальної теорії зводиться до обчислення повторних інтегралів зі змінними верхніми границями. У випадку, коли область інтегрування є більш складною, то вона представляється у вигляді декількох простих областей.

Розглянемо декілька прикладів обчислення подвійних інтегралів шляхом їх зведення до повторних.

Приклад: Обчислити подвійних інтеграл по множині Е, обмеженій кривими: . Неважко зрозуміти, що такий інтеграл зводиться до повторного інтегралу одним з двох способів .

Int(Int((x^2+y^2),y=0..x),x=0..1)= int(int(x^2+y^2 ,y=0..x),x=0..1);  
>Int(Int(x^2+y^2 ,x=0..y),y=0..1)= int(int(x^2+y^2 ,x=0..y),y=0..1);

Приклад: Обчислити подвійних інтеграл по множині Е, обмеженій кривими: . Неважко зрозуміти, що такий інтеграл зводиться до повторного

>int(int(x*y,y=2-x..1+sqrt(1-x^2)),x=0..1);
>int(int(x*y,x=2-y..sqrt(-y^2+2*y)),y=1..2);

Приклад. Обчислити подвійний інтеграл , де - коло радіусу R з центром на початку координат. Цей інтеграл може бути зведений до наступного повторного інтегралу: , який можна обчислити за допомогою подвійного інтегрування в системі MAPLE.

>int(int(y^2*sqrt(R^2-x^2),y=-sqrt(R^2-x^2) ..sqrt(R^2-x^2)),x=-R..R);

Хоча в системі MAPLE немає спеціалізованої функції обчислення подвійних інтегралів, але в пакеті student існує функція Doudleint, яка має лише нейтральну (пасивну) форму і призначена для запису подвійного інтегралу.

Розглянемо використання цієї функції для обчислення подвійного інтегралу з попереднього прикладу.

>with(student): >D1:=Doubleint(y^2*sqrt(R^2-x^2), =-sqrt(R^2-x^2)..sqrt(R^2-x^2),x=-R..R);

Слід зауважити, що порядок слідування змінних, в межах інтегрування, а саме y, а потім x є дуже важливим для коректного обчислення цього інтегралу шляхом зведення до повторного за допомогою функції value(exp), де в якості змінної exp беремо подвійний інтеграл D1.

> value(D1);

Бачимо, що обчислення значення інтегралу за допомогою функцій Doudleint та value повністюзбігається з попереднім способом обчислення.

>Doubleint(x^3+y^3,x,y,Omega);

Цей приклад демонструє можливості функції Doudleint лишедля символічного запису подвійного інтегралу по деякій області Ω.

Другим досить ефективнім методом обчислення подвійних інтегралів є метод заміни змінних інтегрування, який можна виконати вже відомою нам функцією changevar. Розглянемо декілька прикладів обчислення подвійного інтегралу з використанням методу заміни змінних.

Приклад: Обчислити подвійний інтеграл , де область Ω представляє собою

Враховуючи вигляд області інтегрування, яка є коло радіусу a з центром в точці (a,0) найбільш зручно ввести полярну систему координат , з подальшим зведенням до повторного інтегралу.

На першому кроці використовуємо функцію Doudleint для символічного запису подвійного інтегралу.

>A:=Doubleint((x^2+y^2),x,y,Omega);

На другому кроці за допомогою функції changevar проводимо заміну змінних у підінтегральному виразі.

>assume(r>=0);  
>AA:=changevar({x=a+r*cos(phi),y=r*sin(phi)},A,[r,phi]);

 

На третьому кроці проведемо обчислення подвійного інтегралу шляхом зведення до повторного, наведені два еквівалентних способи обчислення.

 

>value(Doubleint(r*(a^2+2*a*r*cos(phi)+r^2),r=0..a,phi=0..2*Pi));
>int(int(r*(a^2+2*a*r*cos(phi)+r^2),r=0..a),phi=0..2*Pi);

Приклад: Обчислити подвійний інтеграл , де область Ω обмежена однією пелюсткою лемніскати

Враховуючи вигляд області інтегрування, найбільш зручно ввести полярну систему координат , з подальшим зведенням до повторного інтегралу.

Результати обчислення наведені нижче.

>B:=Doubleint(x*sqrt(x^2+y^2),x,y,Omega);
>BB:=changevar({x=r*cos(phi),y=r*sin(phi)},B,[r,phi]);
>Omega:=(x^2+y^2)^2=a^2*(x^2-y^2);
>x=r*cos(phi);y=r*sin(phi);  
>simplify(subs(x=r*cos(phi), y=r*sin(phi),Omega))/r^2;
>int(int('r'^3*cos(phi),'r'=0..a*sqrt(2*cos(phi)^2-1)), phi=0..Pi/4);

Обчислення потрійних інтегралів

Для обчислення потрійних інтегралі в системі MAPLE так само як і для подвійних інтегралів використовується метод зведення до повторних інтегралів зі змінними межами інтегрування. Крім того у пакеті student існує нейтральна функція Triplein, яка використовується для символічного запису трьохвимірного інтегралу, або в сукупності з функцією value для його обчислення шляхом зведення до повторного.

Розглянемо декілька прикладів обчислення потрійних інтегралів

Приклад: Обчислити потрійний інтеграл , де V область, обмежена площинами

Обчислення цього інтегралу зводиться до трьохкратного повторного інтегрування , що і демонструє наступні обчислення.

>Tripleint(1/(1+x+y+z)^3,z=0..1-x-y,y=0..1-x,z=0..1)= int(int(simplify(int(1/(1+x+y+z)^3,z=0..1-x-y)),y=0..1-x), x=0..1);

Обчислити трьохвимірний інтеграл , де

Неважко зрозуміти, що цей інтеграл зводиться до повторного інтегралу , що і реалізовано в наступних обчисленнях.

assume(a>=0);  
>value(Tripleint(z,z=0..c*sqrt(1-x^2/a^2-y^2/b^2),y=-b/a*sqrt(a^2-x^2)..b/a*sqrt(a^2-x^2),x=-a..a));

Обчислити трьохвимірний інтеграл , де Тобто область V є загальна частина двох куль. Враховуючи, що підінтегральна функція не залежить від x та y, а також, що проекціями на площину z=0 області V є кола з центрами на початку координат площі яких легко можна обчислити з використання рівнянь верхньої та нижньої частини сфери, останній інтеграл обчислюється як сума двох визначених інтегралів по частинам пижній та верхній сфер.

>Tripleint(z^2,x,y,z,V)=Pi*(int(z^2*(2*R*z-z^2), z=0..1/2*R)+int(z^2*(R^2-z^2),z=1/2*R..R));

Аналогічно двовимірним інтегралам при обчисленні трьохвимірних інтегралів в системі MAPLE можна застосовувати також метод заміни змінних. Найчастіше при обчисленні трьохвимірних інтегралів використовуються сферична та циліндрична системи координат.

Розглянемо приклад на застосування методу заміни змінних у трьохвимірному інтегралі.

Приклад: Обчислити інтеграграл де V тіло, що обмежене зверху поверхнею , а знизу площиною z=0.

Для обчислення інтегралу введемо сферичні координати

Проведемо обчислення рівняння поверхні у сферичних координатах.

>simplify(subs(x=r*cos(phi)*sin(theta),y=r*sin(phi)*sin(theta),z=r*cos(theta),V),trig);
>VS:=simplify(%,{-1+(cos(theta))^2=-(sin(theta))^2,cos(phi)*sin(phi)=sin(2*phi)/2})/r^2;

Проведемо обчислення підінтегрального виразу в сферичній системі координат:

>sfer:={x=r*cos(phi)*sin(theta),y=r*sin(phi)*sin(theta),z=r*cos(theta)};
>I1:=Tripleint(x*y*z/(x^2+y^2),x,y,z,V1);
>assume(r>=0);  
>Isfer:=changevar(sfer,I1,[r,phi,theta]);
     

Проведемо обчислення інтегралу, враховуючи, що змінна , а відповідна область інтегрування складається з двох симетричних частин які задовольняють нерівностям та відповідно.

>I1:=2*value(Tripleint(r^3*cos(phi)*sin(phi)*cos(theta)*abs(sin(theta)),r=0..sqrt(1/2*a^2*sin(theta)^2*sin(2*phi)),theta=0..Pi/2,phi=0..Pi/2));

Обчислення криволінійних інтегралів.

Обчислення криволінійних інтегралів в системі MAPLE здійснюється шляхом зведення їх до звичайних визначених інтегралів. Спосіб зведення залежить від того, чи є криволінійний інтеграл інтегралом першого, чи інтегралом другого роду, а також від способу завдання контуру по якому здійснюється інтегрування.

Таке зведення можна зробити безпосередньо, використовуючи відповідну формулу математичного аналізу, або застосувавши функцію Lineint()пакету student. Ця функція має декілька форматів використання в залежності від способу завдання контуру інтегрування, а саме: Lineint(f(x,y), x, y),Lineint(f(x,y), x=x(t), y=y(t)),Lineint(f(x,y), x, y =a..b),Lineint(f(x,y), x=x(t), y=y(t), t=a..b);Lineint(f(x,y,z), x, y, z). f(x,y), f(x,y,z)- підінтегральна функція, x, y, z – аргументи функції, a,b –нижня та верхня межі інтегрування.

Розглянемо декілька прикладі, з яких буде зрозумілим як проводити обчислення криволінійних інтегралів за допомогою функції Lineint().

Приклад: Обчислити , де C – крива

Наведений інтеграл представляє собою криволінійний інтеграл першого роду при параметричному способі завдання контуру інтегрування.

 

>assume(a>0);  
>x:=t->a*(cos(t)+t*sin(t));
>y:=t->a*(sin(t)-t*cos(t));
>Lineint(x(t)^2+y(t)^2,x,y,t=0..2*Pi);    
>factor(value(%));
     

Обчислити криволінійний інтеграл першого роду де Г- чверть еліпсу Для обчислення інтегралу використовуємо функцію Lineint().

> y:=x->(sqrt(4-x^2))/2;
> Lineint(x^2*y,y,x=0..2);
> value(%);

Обчислити криволінійний інтеграл першого роду де Г дуга параболи від точки А(2,-2) до точки В(8,4). Враховуючи спосіб завдання контуру застосуємо обчислення криволінійного інтегралу першого роду за допомогою функції Lineint().

> x:=y->y^2/2;
> Lineint(y,x,y=-2..4);
> value(%);

Обчислити криволінійний інтеграл другого роду

>I:=Int(y(x)/(x^2+y(x)^2),x=1..2)+Int(x(y)/(x(y)^2+y^2),y=1..2);
>x:=y->y; >y:=x->x;
> value(I);  

Знайти криволінійний інтеграл другого роду

Враховуючи, що контур інтегрування задано в параметричному вигляді обчислимо інтеграл за допомогою функції int().

>II:=Int(x(t)*diff(y(t),t),t=0..2*Pi)-Int(y(t)*diff(x(t),t),t=0..2*Pi);
>x:=t->a*(cos(t))^3;
>y:=t->a*(sin(t))^3;
>value(II);

Обчислити криволінійний інтеграл другого роду вздовж правої пелюстки лемніскати .

>I3:=int(x(phi)*(y(phi))^2/((x(phi))^2+(y(phi))^2)*diff(x(phi),phi),phi=-Pi/4..Pi/4)-int((x(phi))^2*y(phi)/((x(phi))^2+(y(phi))^2)*diff(y(phi),phi),phi=-Pi/4..Pi/4);
>rho:= phi-> a*sqrt(cos(2*phi));
> x:=phi-> rho(phi)*cos(phi); > y:=phi-> rho(phi)*sin(phi);
> I3;

Поверхневі інтеграли першого та другого роду.

Обчислення поверхневих інтегралів першого та другого роду в системі MAPLE зводиться фактично до подвійного інтегралу згідно відповідних формул математичного аналізу. В свою чергу подвійні інтеграли зводяться до повторних інтегралів.

Розглянемо приклади обчислення поверхневих інтегралів.

Приклад: Обчислити криволінійний інтеграл першого роду де S – частина поверхні конусу , для якої ;

Враховуючи спосіб завдання поверхні інтегрування відповідний поверхневий інтеграл зводиться до подвійного за формулою:

Розглянемо спосіб обчислення інтегралу засобами системи MAPLE.

>z:=(x,y)->k*sqrt(x^2+y^2);

> f:=(x,y)-> simplify((z(x,y)^2*y^2+z(x,y)^2*x^2+x^2*y^2)* sqrt(1+(diff(z(x,y),x))^2+(diff(z(x,y),y))^2));

> f(x,y); >with(student);  
>value(Doubleint(f(x,y),y=-sqrt(2*a*x-x^2)..sqrt(2*a*x-x^2),x=0..2*a));
> factor(%);

Приклад: Обчислити поверхневий інтеграл другого роду де S – зовнішня поверхня частини параболоїда

Обчислення відповідного інтегралу зводиться до , де D, проекция параболоида на площину (x,z), яка представляє собою область обмежену параболою та прямою z=2.

>y:=(z,x)->sqrt(z-x^2);
>g:=(x,z)->y(z,x);
>g(x,z);
>value(2*Doubleint(-g(x,z),z=x^2..2,x=-sqrt(2)..sqrt(2)));

 

Завдання для самостійного виконання до другого розділу

1.Обчислити границі послідовностей:

1.1 ; ;

1.2 ; ;

1.3 ; ;

1.4 ; ;

1.5 ; ;

2. Обчислити границі функцій.

2.1 ; ;

2.2 ; ;

2.3 ; ;

2.4 ; ;

2.5 ; ;

3. Обчислити вираз, який містить похідні вказаного порядку від функції однієї змінної.

3.1 ;

3.2 ;

3.3 ;

3.4 ;

3.5

4. Перевірити наступні рівності з частинними похідними :

4.1 ;

4.2 ;

4.3 ;

4.4

4.5

5. Від параметрично заданих функцій знайти

5.1 ; 5.2

5.3 5.4 ;

5.4 ;

6. Визначити функцію двох змінних, яка дорівнює та обчислити її в точці

6.1 ; 6.2 ; 6.3 ;

6.4 ; 6.5 ;

7. Знайти для неявної функції заданої системою співвідношень:

7.1 ; 7.2 ; 7.3 ;

7.4 ; 7.5 .

8. Показати, що вказана функція задовольняє диференціальне рівняння в частинних похідних.

8.1 ; 8.2 ;

8.3 ; 8.4 ;

8.5 ;

9. Перейти в диференціальних виразах до полярних координат:

9.1 9.2 9.3

9.4

9.5

10. Обчислити суму ряду:

10.1 ; 10.2 ;

10.3 ; 10.4 ;

10.5 .

11. Дослідити збіжність рядів та при можливості обчисліть його суму точно або наближено.

11.1

11.2 ; ; ;

11.3 ; ; ;

11.4 ; ; ;

11.5 ; ; ;

 

12. Розкласти функцію в ряд Макларена.

12.1 ; 12.2 ;

12.3 ; 12.4 ;

12.5 ;

13. Розкласти в ряд Тейлора в точці x=0, y=0 функцію двох змінних.

13.1 ; 13.2 ; 13.3 ;

13.4 ; 13.5 ;

14. Обчислити невизначені інтеграли:

14.1 ; ; ;

14.2 ; ; ;

14.3 ; ; ;

14.4 ; ; ;

14.5 ; ; ;

15. Обчислити визначені інтеграли:

15.1 ; ; ;

15.2 ; ; ;

15.3 ; ; ;

15.4 ; ; ;

15.5 ; ; ;

 

16. Обчислити подвійний інтеграл:

16.1 де область обмежена кривою ;

16.2 де область обмежена еліпсом ;

16.3 де область обмежена кривою ;

16.4 де область обмежена кривою ;

16.5 де область обмежена прямими та гіперболою ;

17. Обчислити потрійний інтеграл по множині E обмеженій даними поверхнями:

17.1

17.2

17.3

17.4 ;

17.5

18. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду:

18.1

18.2 ;

18.3

18.4

18.5 від точки А(0,-2) до точки В(4,0);

19.Обчислити криволінійний інтеграл другого роду:

19.1


Переглядів: 724

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
 | Побудова двохвимірних графіків

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.059 сек.