Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Закон Пуассона

На практиці часто зустрічаються випадкові події, ймовірність яких мізерно мала. Наприклад, ймовірність одночасної відмови двох радіостанцій у керівника польотів. У таких випадках для ймовірності того, що випадкова величина, що характеризує появу рідкої події, прийме певне значення, справедливий розподіл, що є граничним для біноміального розподілу й описується законом Пуассона.

Доведемо, що якщо кількість незалежних дослідів прагне до нескінченності, а ймовірність події, що спостерігається в цих дослідах, – до нуля, причому їхній добуток зберігає постійне значення , то граничне значення біноміального розподілу

. (40)

З урахуванням того, що , перетворимо вираз, що стоїть під знаком межі

. (41)

У виразі (41) перший дріб і знаменник останнього дробу при прямують до одиниці. Вираз від не залежить. Чисельник останнього дробу можна записати у вигляді

. (42)

При дріб , і вираз (10.42) прагне до .

Таким чином, рівність (40) доведено.

Приймається, що дискретна випадкова величина розподілена за законом Пуассона, якщо ймовірність того, що вона прийме певне значення , виражається формулою

, (43)

де постійна позитивна величина, що називається параметром закону Пуассона.

Визначимо математичне сподівання й дисперсію випадкової величини , яка розподілена за законом Пуассона.

Математичне сподівання

Перший член записаної суми, що відповідає значенню 0, дорівнює нулю, тому

Позначимо , тоді

. (44)

Таким чином, математичне сподівання випадкової величини являє собою параметр .

З метою визначення дисперсії запишемо вираз для другого початкового моменту випадкової величини

Раніше доведено, що

Крім того,

Отже, .

Далі знаходимо дисперсію випадкової величини

. (45)

З (44) і (45) слідує, що дисперсія дискретної випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона, дорівнює її математичному сподіванню.

Ця властивість розподілу Пуассона часто використовується на практиці. Якщо значення математичного сподівання й дисперсії випадкової величини, які отримані у великій серії незалежних дослідів, досить близькі, то це може служити підтвердженням гіпотези про розподіл досліджуваної величини за законом Пуассона. І, навпаки, якщо ці числові характеристики розрізняються суттєве, то гіпотеза про розподіл досліджуваної величини за законом Пуассона є помилковою.

У практичних ситуаціях при великій кількості незалежних дослідів , у кожному з яких подія має дуже малу ймовірність , замість формули (35) зазвичай користуються наближеною формулою

, (46)

де параметр закону Пуассона, яким приблизно заміняється біноміальний розподіл.

Приклад. Апаратура телекодового радіозв'язку приймає повідомлення із середньою щільністю повідомлень у годину. Відомо, що число прийнятих повідомлень на будь-якій ділянці часу розподілено за законом Пуассона. Потрібно визначити ймовірність того, що за дві мінути буде прийнято рівно три повідомлення.

Середнє число прийнятих повідомлень за дві мінути дорівнює

По формулі (43) знаходимо шуканий результат

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
	\|

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.