Функціональні ряди. Область збіжності функціонального ряду
Ряди (6.1), членами яких є не числа, а функції, визначені в деякій області визначення аргументу х, називають функціональними.
Для кожного значення х0 з області визначення функцій функціональний ряд перетворюється в числовий ряд:
. (6.2)
Якщо цей ряд збіжний, точку х0називають точкою збіжності функціонального ряду. Множину всіх точок збіжності функціонального ряду називають його областю збіжності.
Степеневим рядом є функціональний ряд, який має вигляд:
(6.3),
де а – стала, – числа, що мають назву коефіцієнтів степеневого ряду.
Якщо , степеневий ряд набуває вигляду:
. (6.4)
Степеневий ряд завжди збіжний при .
Якщо ряд збігається в точці , тоді існує число , таке, що для всіх степеневий ряд збігається, для всіх – розбігається. Інтервал називають інтервалом збіжності, а половину його довжини, число R– радіусом збіжності.
Областю збіжності степеневого ряду є інтервал , до якого, залежно від конкретних випадків, можна додати кінцеві точки та . В кожній точці інтервалу ряд збігається абсолютно. Якщо степеневий ряд збігається для всіх значень х, вважають , якщо ж він збігається тільки для , вважають .
Інтервал збіжності можна знаходити, застосовуючи ознаку Даламбера, або ознаку Коші до ряду, складеного з абсолютних величин членів вихідного ряду.
Записавши ряд (6.3) у вигляді:
, (6.5)
та розглянувши ряд, складений з абсолютних значень членів ряду (6.5), який має вигляд:
, (6.6)
знаходять інтервал збіжності з нерівностей: (6.7) або (6.8)