Зрозуміло, що умова виконується тільки якщо х=5, тобто ряд збігається якщо х=5, тоді радіус збіжності R=0.
7. Розклад функцій в степеневі ряди.Ряд Тейлора
Якщо функція f (x)в деякому інтервалі, що містить точку а, має похідні всіх порядків, тоді для неї можна застосувати формулу Тейлора.
(7.1)
де ( а с х, n) – залишковий член ряду.
Якщо в цьому ж інтервалі виконується умова , тоді функцію можна розкласти в ряд Тейлора для значення х, що розглядається:
(7.2)
Якщо а = 0 , отримаємо ряд Маклорена:
(7.3)
Для виключення процесу багаторазового диференціювання при розкладанні деяких функцій в ряд Тейлора можна використовувати готові розклади основних елементарних функцій з комбінуванням правил додавання, віднімання та множення рядів.
Наведемо розклади в ряд Маклорена основних функцій.