Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Розділ 14.3. Точність оцінки. Довірча ймовірність. Довірчий інтервал

Точковою називається оцінка, що визначається одним числом. Інтервальною називається оцінка, що визначається двома числами – кінцями інтервалу. Інтервальні оцінки дозволяють встановити точність і надійність оцінок.

Означення: Надійністю (довірчою ймовірністю) параметра за статистичною оцінкою називається ймовірність , з якою виконується нерівність , де - додатнє число, що характеризує точність оцінки

 

.

 

Звичайно надійність оцінки задається наперед числом, близьким до одиниці. Після елементарних перетворень одержуємо

 

.

 

Це співвідношення свідчить, що ймовірність того, що інтервал включає в себе (покриває) невідомий параметр , дорівнює . А сам інтервал називається довірчим.

 

Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання

нормального розподілу

Нехай кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально, причому середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності не відоме. Необхідно оцінити невідоме математичне сподівання за допомогою довірчих інтервалів. За даними вибірки можна побудувати випадкову величину, яка має розподіл Ст’юдента з степенями свободи

 

 

де - вибіркова середня; - виправлене середнє квадратичне відхилення; - обсяг вибірки.

Щільність розподілу Ст’юдента має вигляд

 

, де

 

Ми бачимо, що розподіл Ст’юдента визначається параметром п – обсягом вибірки, що теж саме, що й числом степеней свободи і не залежить від параметрів і .

Знайдемо надійність параметра

 

.

 

Шляхом елементарних перетворень, перейдемо до подвійної нерівності

 

.

 

Користуючись розподілом Ст’юдента, знайдемо довірчий інтервал, що покриває невідомий параметр з надійністю

 

. (14.8)

 

За таблицею критичних точок розподілу Ст’юдента за заданими і , можна знайти .

 

Приклад:

Кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою обсягу знайдено середню вибіркову і виправлене середнє квадратичне відхилення Оцінити невідоме математичне сподівання за допомогою довірчого інтервалу з надійністю

 

 

Рішення

 

За таблицею критичних точок розподілу Ст’юдента на перетині числа степеней свободи і (двостороння критична область), можна знайти

Тоді, за формулою (14.8) маємо

 

 

 

Таким чином, з надійністю 0,95 невідомий параметр покриває довірчий інтервал

Довірчий інтервал для оцінки середнього квадратичного відхилення

нормального розподілу

Нехай кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. Необхідно оцінити невідоме генеральне середнє квадратичне відхилення за виправленим середнім квадратичним відхиленням , тобто знайти довірчий інтервал, що покриває параметр з заданою надійністю . Для цього необхідне виконання співвідношення

 

або

.

 

Винесемо за дужки і зробимо заміну , після чого одержимо

 

.

 

Тоді довірчий інтервал можна виразити за формулою

 

. (14.9)

 

На практиці, для знаходження користуються таблицею значень, що наведена нижче. Але формула (14.9) справедлива при .

 

Таблиця значень

0,95 0,99 0,999 0,95 0,99 0,999
1,37 2,67 5,64 0,37 0,58 0,88
1,09 2,01 3,88 0,32 0,49 0,73
0,92 1,62 2,98 0.28 0.43 0,63
0,80 1,38 2,42 0,26 0,38 0,56
0,71 1,20 2,06 0.24 0,35 0,50
0,65 1,08 1,80 0,22 0,32 0,46
0,59 0,98 1,60 0,21 0,30 0,43
0,55 0,90 1,45 0,188 0,269 0,38
0,52 0,83 1,33 0,174 0,245 0.34
0,48 0,78 1,23 0,161 0.226 0,31
0,46 0,73 1,15 0,151 0,211 0,29
0,44 0,70 1,07 0,143 0,198 0,27
0,42 0,66 1,01 0,115 0,160 0,211
0,40 0,63 0,96 0,099 0,136 0,185
0.39 0,60 0,92 0,089 0,120 0,162

 

Якщо , тоді нерівність (14.9) набуде вигляду (враховуємо, що

 

. (14.10)

 

 

Приклад:

Кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою обсягу знайдено виправлене середнє квадратичне відхилення . Знайти довірчий інтервал, що покриває генеральне середнє квадратичне відхилення з надійністю 0,95.

 

Рішення

 

За таблицею значень за даними і знайдемо Тоді за формулою (14.9)

,

.

 

Таким чином, довірчий інтервал покриває невідомий параметр генеральної сукупності з надійністю 0,95.

 

 

Приклад:

Кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою обсягу знайдено виправлене середнє квадратичне відхилення . Знайти довірчий інтервал, що покриває генеральне середнє квадратичне відхилення з надійністю 0,99.

 

Рішення

 

За таблицею значень за даними і знайдемо Тоді за формулою (14.10)

,

 

.

 

Таким чином, довірчий інтервал покриває невідомий параметр генеральної сукупності з надійністю 0,99.

 




Переглядів: 3078

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Оцінка генеральної дисперсії по виправленій вибірковій | Задачі до розділу14.3

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.007 сек.