• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Перша квадратична форма поверхні. Її геометричний зміст і застосування.

Нехай – регулярна поверхня, задана рівнянням . У будь-якій точці існує дотична площина . Будемо розглядати дотичну площину як двовимірний векторний простір. Вектори цього простору мають вигляд , де – локальний репер поверхні. Введемо в структуру евклідового простору за допомогою скалярного добутку векторів і знайдемо

,

або, позначивши

, , ,

одержимо

–

квадратичну форму від змінних . Вона визначена в дотичній площині поверхні й називається першою квадратичною формою поверхні.

Матриця називається матрицею першої квадратичної форми, а - її детермінантом.

Для коефіцієнтів першої квадратичної форми використовують ще позначення й записують . Тому що поверхня регулярна, то вектори й ненульові, а це означає, що . Крім того, відповідно до нерівності Коші - Буняковського для векторів евклідового простору. Отже, відповідно до критерію Сильвестра, для кожного матимемо , тобто перша квадратична форма додатно-визначена.

Нехай – регулярна поверхня й регулярна крива цієї поверхні задана внутрішніми рівняннями . Векторне рівняння являє собою зовнішнє рівняння кривої . Для довжини дуги кривої маємо:

, .

Оскільки , то , і значить

. (7.1)

Таким чином, , але тоді .

Висновок: Перша квадратична форма поверхні є квадратом диференціала довжини дуги кривої, що лежить на поверхні. Це твердження розкриває геометричний зміст першої квадратичної форми.

Знаючи першу квадратичну форму поверхні, можна:

1) обчислити довжину дуги лінії на поверхні;

2) знайти кут між лініями в точці їхнього перетину;

3) обчислити площу області на поверхні.

Переглядів: 3337