Положення точки на комплексній площині може бути задане як декартовими координатами а,b (α=a+bi), так і її полярними координатами: відстанню r від початку координат до точки і кутом j між додатнім напрямом осі абсцис і напрямом із початку координат на цю точку.
j
b
α
r
a
Число r називають модулемчисла α (позначається ), а кут j – аргументомчислаα (позначається arg ). Зв’язок між декартовими та полярними координатами: a = rcosj, b = rsinj. Звідси r = . Тому
запис числа α в полярних координатах є наступним:
α = a+bi = rcosj+(rsinj)i, тобто
α = r(cosj+isinj).
Ця форма запису комплексного числа називається тригонометричною.
Приклад
Число α = 1 + і в тригонометричній формі виглядає так:
α = (cos +isin ).
Знайдемо добуток двох комплексних чисел α = r(cosj+isinj) та β = .
Таким чином,
, ,
тобто модуль добутку комплексних чисел дорівнює добутку модулів співмножників, а аргумент добутку комплексних чисел дорівнює сумі аргументів співмножників.
Ці правила поширюються на довільну кількість співмножників.
Аналогічні правила мають місце і для частки. Нехай β ≠ 0.
звідки випливає, що
модуль частки двох комплексних чисел дорівнює частці модулів діленого і дільника, а аргумент частки дорівнює різниці аргументів діленого і дільника.
Із того, що 1=1+і∙0=cos0+isin0, і при α=r(cosj+isinj)≠0 отримаємо
α-1=r-1[cos(-j)+isin(-j)].
3.3.Піднесення до степеня і добування кореня
Переглядів: 3958
Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google: