Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Похідні основних елементарних функцій

1. Похідна логарифмічної функції.Якщо , то

Доведення. Нехай х довільна точка із (0; ∞). Візьмемо приріст аргументу і знайдемо приріст функції

Отже,

Звідси, за допомогою граничного переходу, використовуючи другу важливу границю, одержимо

, де , . Отже, .

Наслідок. При , маємо: .

2. Похідна показникової функції.Функція є оберненою до функції . Тоді, згідно з правилом диференціювання оберненої функції, знаходимо . Оскільки , то одержимо формулу . Зокрема, для , маємо .

3. Похідна степеневої функції.Функція при x>0 може бути представлена у вигляді . Використовуючи правила диференціювання показникової та складної функцій, одержимо

Якщо x<0, то функцію можна подати інакше: . Тоді .

Нехай . Вираз визначений тільки тоді, коли . У цьому випадку

Таким чином, приходимо до висновку: похідна степеневої функції може бути знайдена за формулою для будь-яких α і x, для яких має зміст права частина цієї формули.

Приклад. Знайти похідну функції . Використавши формулу для похідної степеневої функції, дістанемо:

4. Похідні тригонометричних функцій.Для знаходження похідної від функції скористаємося формулою , першою чудовою границею і неперервністю функції :

Скориставшись тригонометричною тотожністю і правилом диференціювання складної функції, одержимо

Для знаходження похідної функції використаємо формулу похідної частки двох функцій

Аналогічно

5. Похідні обернених тригонометричних функцій.Функція є оберненою для функції . Скориставшись формулою похідної від оберненої функції, одержимо:

Аналогічно функція є оберненою для функції . Отже,

Функція є оберненою для функції . Отже,

Аналогічно функція є оберненою для функції . Отже,

6. Диференціювання функцій, заданих неявно.Якщо функціональну залежність між у та х задано неявно, тобто рівністю , тоді для знаходження похідної функції у по х треба продиференціювати тотожність , враховуючи, що у залежить від х, а потім розв’язати рівняння, яке одержали, відносно : , .

Приклад.Знайти похідну функції у, яка задана рівнянням і обчислити її значення в точці (2; 1).

Розв’язування. Диференціюючи обидві частини рівняння і враховуючи, що у залежить від х, одержимо , звідки .

Значення похідної при буде дорівнювати .

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.