Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

ВИЗНАЧЕННЯ ПРИСКОРЕННЯ СИЛИ ТЯЖІННЯ ЗА ДОПОМОГОЮ МАТЕМАТИЧНОГО МАЯТНИКА.

Мета: Ознайомлення на досліді з законами коливання математичного маятника та визначити за його допомогою прискорення сили тяжіння.

Обладнання: Математичний маятник, секундомір, масштабна лінійка.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Падіння тіл на Землі - один з проявів закону всесвітнього тяжіння, відкритого І. Ньютоном. Згідно з законом всесвітнього тяжіння сила взаємодії двох матеріальних точок з масами m₁ і m₂ на віддалі R визначається рівнянням:

F=gm₁m₂/R² (1)

де g=6.67×10^-11 - гравітаційна стала.

Дослідження, проведені ще Ньютоном, показали, що в даному місці на Землі всі тіла падають з однаковим прискоренням. На основі закону всесвітнього тяжіння, воно повинно дорівнювати:

g=gM/R² (2)

де M-маса Землі, R- радіус Землі для даного місця.

Визначення прискорення сили тяжіння дало можливість обчислити масу Землі і середню її густину: M=5.96 ·10²⁴ кг; r=5.5·10³ кг/м³.

Збільшення прискорення сили тяжіння при переміщенні від екватора до полюсів показало, що Земля має форму еліпсоїда. Прискорення на широті 45° g=9.80665 м/с² домовились називати нормальним прискоренням.

Земна кора в різних місцях має неоднаковий склад, тому в місцях, де кора має більшу густину, прискорення збільшується. Це послужило засобом для розвідування корисних копалин.

За законом всесвітнього тяжіння в міру віддалення від Землі прискорення зменшується обернено пропорційно віддалі від центра Землі. Це зменшення стає істотним і береться до уваги при обчислені рухів штучних космічних тіл.

Одним з методів визначення прискорення вільного падіння тіл є метод використання математичного маятника.

Математичним маятником називається матеріальна точка, підвішена на довгій, тонкій, нерозтяжній нитці, масою якої можна знехтувати.

Моделлю математичного маятника може служити тягарець, підвішений на довгій (l>>r_к) мало розтяжній нитці, масою якої можна знехтувати порівняно з масою тягарця (m_н<<m_к).

Коливання математичного маятника відбувається під дією сили тяжіння. Коли маятник перебуває в положенні рівноваги, то сила тяжіння зрівноважується силою пружності нитки. Якщо маятник відхилити на кут a (мал.1), то сила пружності нитки буде зрівноважувати лише одну складову сили тяжіння F₁, яка напрямлена вздовж нитки, друга ж складова F₂, напрямлена до положення рівноваги, залишається незрівноваженою і є тією силою, під дією якої відбувається коливання маятника.

Мал.1 Мал.2

Як видно з мал. 1. ця сила дорівнює:

F₂=-Psina або F₂=-Рх/l (3)

при малих кутах відхилення (10-15°), коли можна замінити синус кута тангенсом sina »tga»х/l

Тут Р -вага кульки l -довжина нитки, х- величина зміщення кульки від положення рівноваги.

Знак мінус у виразі (3) стоїть тому, що сила завжди напрямлена проти зміщення х, тобто є повертаючою силою.

З виразу (3) виходить, що повертаюча сила F₂ пропорційна зміщенню х. Під дією сили, пропорційній зміщенню і напрямленій до положення рівноваги виникають, як відомо, гармонійні коливання, тобто коливання, які описуються рівняннями синусоїди або косинусоїди:

х=Аsinwt (4)

де х-величина зміщення коливної точки від положення рівноваги в даний момент часу; А-амплітуда коливань (найбільше відхилення коливної точки від положення рівноваги);

w=2p/Т — циклічна частота (ця величина показує число повних коливань за час 2p секуд): Т-період коливань; t-час; wt-фаза коливання.

На основі другого закону Ньютона можна записати:

F₂=ma i P=mg

Тоді рівність (3) прийме вигляд:

і (5)

де m— маса кульки, a — прискорення, якого набуває кулька під дією повертаючої сили, g — прискорення сили тяжіння.

З другого боку, вираз для прискорення а — кульки можна одержати з рівняння (4), маючи на увазі, що прискорення є другою похідною від зміщення по часу:

Але так як Asinwt=x, то (6-а)

З рівностей (5) і (6-а) одержуємо:

. Звідки (7)

З цього співвідношення можна визначити прискорення сили тяжіння шляхом вимірювання довжини маятника l і періоду його коливань Т. Але безпосереднє вимірювання довжини маятника пов’язане з деякими незручностями, тому вдаються до вимірювання не довжини маятника, а різниці довжин l₁і l₂, яким відповідають періоди коливань Т₁ і Т₂.

Так, застосовуючи формулу (7) для маятників, довжини яких l₁і l₂, періоди коливань відповідно дорівнюють Т₁ і Т₂, можна записати:

Якщо піднести обидва вирази до квадрату і відняти другий вираз від першого, то одержимо:

, звідки (8)

За початком відліку приймемо яку-небудь горизонтальну поверхню, наприклад, поверхню стола або підлоги. Так як віддаль від точки підвісу маятника до поверхні стола (підлоги) – величина стала, то можна записати:

де d — довжина тягарця; h₁ і h₂ — віддалі від нижньої точки тягарця до поверхні стола (підлоги). рис2.

З останньої рівності одержимо:

l₁-l₂=h₂-h₁.

Тоді формулу (8) можна записати у вигляді:

(9)

Віддалі h₁ і h₂ нижньої точки тягарця від поверхні стола (підлоги) з достатньою точністю можна виміряти за допомогою штангенрейсмуса (вертикально встановлена на спеціальній підставці лінійка з ноніусом). При відсутності штангенрейсмуса можна скористатись масштабною лінійкою з міліметровою шкалою.

Необхідно відмітити, що формула (9) може дати значну похибку у визначенні g , якщо різниця h₂-h₁ дуже мала, тобто, якщо будуть близькими значення періодів T₁ і T₂ коливань маятника. Тому при виконанні роботи необхідно встановити такі довжини маятника, щоб різниця h₁-h₂ була великою.

ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ.

1. Встановити максимально можливу довжину маятника і виміряти віддаль h₁ від нижньої точки тягарця до вибраної поверхні.

2. Відхилити маятник на невеликий кут (10-15°) і визначити час за який маятник здійснить n повних коливань (n=50¸100).

3. Визначити період коливань Т₁=t₁/n. Визначення періоду коливань проводять декілька разів і знаходять його середнє значення

Т_1(сер)=(Т₁’+Т₁’’+Т₁’’’)/3

4. Зменшити довжину підвісу маятника і виміряти віддаль h₂ від нижньої точки тягарця до поверхні підлоги. Потім аналогічно в описаному пунктах 2 і 3 обчислити період Т₂=t₂/n і Т_2(сер)=(Т₂’+Т₂’’+Т₂’’’)/3.

5. Результати вимірювань і обчислень записати в таблицю 1.

6. Повторити дослід ще два рази, змінюючи віддаль h₂.

7. Результати вимірювань і обчислень записати в таблиці 2 і3.

ТАБЛИЦЯ 1

№	n	h₁= відповідає довжині l₁	h₂= відповідає довжині l₂	g	Dg	g_ср/Dg_ср
		t₁	T₁	DT₁	t₂	T₂	DT₂



ср.

ТАБЛИЦЯ 2

№	n	h₁= відповідає довжині l₁	h₂= відповідає довжині l₂	g	Dg	g_ср/Dg_ср
		t₁	T₁	DT₁	t₂	T₂	DT₂



ср.

ТАБЛИЦЯ 3

№	n	h₁= відповідає довжині l₁	h₂= відповідає довжині l₂	g	Dg	g_ср/Dg_ср
		t₁	T₁	DT₁	t₂	T₂	DT₂



ср.

8. За формулою (9) знайти середнє значення прискорення сили тяжіння.

9. На основі робочої формули одержати формулу для обчислення відносної похибки. Обчислити відносну та абсолютну похибки визначення прискорення сили тяжіння. Абсолютні похибки Dh₁ i Dh₂ визначити за приладом, яким вимірювалась віддаль h₁ i h_2.Значення абсолютних похибок DT_1(ср)i DT_2(ср)обчислити за формулою DT=Dt/n, де за Dt взяти половину ціни поділки секундоміра.

10. Кінцевий результат записати у вигляді:

g=g_ср±Dg_ср ; Е=100%Dg_ср/g_ср

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Що називається математичним маятником?

2. Що називається періодом, фазою, циклічною частотою і в яких одиницях ці величини вимірюються?

3. Записати рівняння гармонічного коливання, швидкості і прискорення коливної точки.

4. Вивести формулу для періоду коливання математичного маятника.

5. Від чого залежить прискорення сили тяжіння Землі?

6. Які інші методи визначення прискорення сили тяжіння ви знаєте?

7. Два маятники відхилили від своїх положень рівноваги і одночасно відпустили. Перший маятник довжиною 4 м здійснив за деякий проміжок часу 15 коливань, другий за цей самий час зробив 10 коливань. Яка довжина підвісу другого маятника?

8. У скільки разів змінилася повна механічна енергія математичного маятника внаслідок зменшення втричі його довжини та збільшення вдвічі амплітуди?

9. У нерухомому ліфті розміщений математичний маятник, період коливань якого 1 с. З яким прискоренням рухається ліфт, якщо період коливань цього маятника дорівнює 1,1 с? В якому напрямі рухається ліфт?

1. За яку частину періоду тіло, яке здійснює гармонійні коливання, проходить весь шлях від середнього положення до крайнього? Першу половину шляху? Другу половину.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №5

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.