Лінійна модель торгівлі.

Одним із прикладів економічних процесів, які приводять до поняття власного числа і власного вектора матриці, є процес взаєм-них закупок товарів. Ми будемо розглядати лінійну модель обміну, або як її називають другими словами, модель міжнародної торгівлі.

Нехай є n держав, S₁, S₂,...S_n національний дохід яких дорів-

нює відповідно x₁, x₂,...x_n . Долю національного доходу, яку держа-ва S_j витрачає на покупку товарів у держави S_i позначимо коефіці-єнтами a_ij . Будемо вважати, що весь національний дохід витрача-

ється на закупку товарів або всередині держави, або на імпорт із ін-ших держав, тобто

_∑n	a_ij = 1	( j = 1,2,...,n ) .
i = 1
Розглянемо матрицю коофіцієнтів a_ij	:
		a		a	...	a	1n

A =	^a21	a₂₂ ...	^a2n
...	... ...	... ^.
				a_n2 ...
		^an1	^ann

Матриця А, з властивістю, що сума елементів її довільного стовпчика дорівнює 1, називається структурною матрицею торгі-

Влі.

Для будь-якої держави S_i( i = 1,2,...,n ) загальна виручка від зовнішньої і внутрішньої торгівлі складає

р_i = a_i₁ x₁ + a_i₂ x₂ + ...+ a_in x_n .

Для збалансованості торгівлі необхідно бездефіцитність тор-гівлі кожної держави, тобто виручка від торгівлі кожної держави не

повинна бути меншою від її національного доходу, тобто p_i ≥ x_i

( i = 1,2,...,n ) або a_{i 1} x₁ + a_{i 2} x₂ + ...+ a_in x_n ≥ x_i ( i = 1,2,...,n ). В цій

умові не може бути знака нерівності. Дійсно, додавши всі ці нерів-ності, коли i міняється від 1 до n і згрупувавши, одержимо

x₁ ( a₁₁ + a₂₁ + ...+ a_n1 ) + x₂ ( a₁₂ + a₂₂ + ...+ a_n2 ) + ...++ x_n ( a_1n + a_2n + ...+ a_{nn )} ≥ x₁ + x₂ + ...+ x_n .

Тому що в дужках є суми елементів матриці A по стовпчиках, які дорівнюють 1, ми отримали суперечливу нерівність. Отже, можливий тільки знак рівності.

Введемо вектор національних доходів

→ = ( x₁ , x₂ ,..., x_n ) держав,одержимо матричне рівняння AX = X

x

→

або (A-E)X=0, де X - матриця-стовпчик із координат вектора x .

Значить задача звелася до знаходження власного вектора матриці A, який відповідає власному значенню λ=1.

Приклад 1.Структурна матриця торгівлі трьох країнS₁ , S₂ , S₃ має вигляд

A = ¹ ¹ .

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Власні числа та власні вектори матриці	\|	Знайти співвідношення між національними доходами кра-їн, при якому буде торгівля збалансована.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.