Означення похідної

Уточнимо поняття похідної функції, з яким знайомі з шкіль-ного курсу математики.

Нехай задано функцію y = f ( x ), визначену на проміжку ( a ,b ).Візьмемо деяку точку x₀ з цього проміжку.Значення функції

в ній буде y₀	= f ( x₀ ). Hадамо аргументу приріст	х,такий,що
точка x₁ = x₀	+ x не вийде за вказаний проміжок.Тоді функція
одержить нове значення f ( x₀ + x ) = y₀ +	y ,а її приріст
y = f ( x₀ +	x ) − f ( x₀ ) .Складемо відношення
приросту функції до приросту аргументу
		y	=	f ( x₀ +	x ) − f ( x₀ )	.	(4.1)

		x	x

Знайдемо границю відношення (4.1) при умові, що x прямує до нуля. Якщо ця границя існує, то її називають похідною функції

y = f ( x ) в точці x₀	і позначають	f ′( x₀ ) .
f ′( x₀ ) =	lim	y	=	lim	f ( x₀ +	x ) − f ( x₀ )	.

	x→0	x	x→0	x

Якщо похідна існує для всіх точок проміжку,то вона є функці-єю від х . Для кожного конкретного значення x = x₀ похідна є чис-

ло.

Означення. Похідною функції у = f(x) в точці х називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу, коли приріст аргументy прямує до нуля.

Похідну позначають так

: y′ , y′

, f ′

_, dy _, df _.

y′= lim

= lim

f ( x₀ + x ) − f ( x₀ )

x →0

x x →0

Покажемо застосування цього означення для знаходження по-

хідних деяких функцій.

y = x² .

Приклад 1.Знайти похідну функції

Розв’язування.

1. Надаємо аргументу х приросту

х.

2. Знаходимо приріст функції

y ,віднявши від значення фу-

нкції в новій точці значення функції в початковій точці

y = ( x + x )² − x² = x² + 2 x x + ( x )² − x² =

= 2 x x + (

x )² .

3. Складаємо відношення приростів

2 x x + ( x )²

= 2 x +

X x

4. Обчислюємо границю цього відношення при умові , що

приріст аргументу x прямує до нуля

y′= lim	y	= lim ( 2 х + х ) = 2 х .

x→0	x	x→0
Отже, y′ = 2 x або ( x²)′ = 2 x .				y = x .Від-
Приклад 2.(самостійно).Знайти похідну функції
повідь: y′ = 1.
Приклад 3.Знайти похідну функціїу=sin x.
Розв’язування.
1. Надаємо довільному х приросту	x .
2. Знаходимо приріст функції
y = sin( x +	x ) − sin x = 2 sin	x +	x − x	⋅ cos	x +	x + x	=


= 2 sin ^x cos (x+	^x ).

2 2

3. Складаємо відношення приростів

y	= 2 sin	^x cos( x +	^x )⋅	.

x			x

4. Обчислюємо границю цього відношення при умові , що

x → 0.

			y		sin	x	cos( x + ^x ) =
y′= lim		= lim
	x		x
x→0		x →0
			x
	sin					x
= lim				lim cos( x +		) = 1 ⋅ cos x = cos x .
	x
x→0		x→0

Отже ² ^′

, (sin x) = cos x.

Таким способом можна довести, що (сosx )′ = − sin x .

Задачі, що приводять до поняття похідної

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Деякі економічні задачі і їх розв’язування	\|	Геометричний зміст похідної

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.007 сек.