Поняття про дію зосередженої сили на пружний півпростір

Пружним півпростором називається частина простору, обмежена площиною. Задача про дію сили , прикладеної по нормалі до цієї площини (рис. 4.16), ставиться до просторової задачі теорії пружності і є більш складною, чим задача про дію сили на границі напівплощини (див. 4.6). Її рішення зручно будувати в циліндричній системі координат.

Рис. 4.16. Дія сили на пружний півпростір

У цій системі будь-яка точка простору визначається трьома координатами , , . Задача є осесимметричною, тому всі перерізи, паралельні площини , перебувають в однакових умовах і всі функції не залежать від полярного кута .

Рішення розглянутої задачі належить Ж. Буссінеску. Інтегрування системи диференціальних рівнянь рівноваги й рівнянь нерозривності деформацій Бельтрамі - Мітчелла в циліндричній системі координат дає наступний результат:

(а)

де як і раніше — коефіцієнт Пуассона, a .

Напружений стан, описуваний формулами (а), зображене на рис. 4.17. З формул треба, що на будь-якій прямій напруження обернено пропорційні квадрату відстані від початку координат .

Рис. 4.17. Рішення Ж. Буссінеска

Рішення, як і в плоскої задачі, має особливість на початку координат, тому для включення в нього сили зроблена її заміна статично еквівалентним навантаженням, що розподілене по сфері малого радіуса , обкресленої з початку координат. На підставі принципу Сен-Венана така заміна позначиться на розподілі напружень тільки поблизу початку координат.

На горизонтальній площадці в довільній точці (рис. 4.18) відношення напружень

і, отже, напрямок повного напруження на цій площадці проходить через початок координат . Величина цього напруження

Рис. 4.18. Напруження на горизонтальній площадці

Якщо накреслити сферу діаметром , що проходить через точку і касається границі площини на початку координат (рис. 4.18), то

і повне напруження

Таким чином, у всіх точках розглянутої сфери повне напруження на горизонтальних площадках постійне.

Для визначення переміщень у півпросторі необхідно напруження (а) підставити у формули закону Гука, виражені в циліндричній системі координат, і знайти деформації. Потім треба проінтегрувати геометричні співвідношення Коші в циліндричній системі координат, у результаті чого одержимо наступні складові переміщень:

(б)

де — радіальна складова переміщення; — окружна, а — переміщення уздовж осі .

З формул (б) треба, що на будь-якій прямій переміщення обернено пропорційні відстані від початку координат і при прагнуть до нуля.

Найбільший інтерес представляють вертикальні переміщення точок на граничній площині (при )

Ця формула справедлива у всіх точках, за винятком малої області в початку координат.

Рішення, отримане для зосередженої сили, можна поширити на навантаження, розподілене по деякій площі граничної площини.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Поняття про розрахунок циліндричних котків	\|

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.