МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Практичне заняття 3.Тема заняття.Застосування похідної до доведення нерівностей. 1. Доведення умовних нерівностей з однією змінною. 1.1. Застосування достатньої умови зростання (спадання) функції до доведення умовних нерівностей з однією змінною. 1.2. Застосування достатньої умови існування екстремуму функції в точці до доведення умовних нерівностей з однією змінною. 1.3. Застосування правила знаходження найбільшого та найменшого значень функції на проміжку до доведення нерівностей виду , , де - найменше, - найбільше значення функції на . 2. Доведення нерівностей з декількома змінними. 1. Доведення умовних нерівностей з однією змінною. 1.1. Застосування достатньої умови зростання (спадання) функції до доведення умовних нерівностей з однією змінною. Теоретичний матеріал. Умовні нерівності – це нерівності істинні на певному проміжку. Достатня умова зростання (спадання) функції на інтервалі. Якщо в кожній точці інтервалу ( ), то функція зростає (спадає) на цьому інтервалі. Якщо функція неперервна на проміжку і спадає (зростає) на інтервалі , то функція спадає (зростає) на проміжку . Алгоритм доведення нерівностей. 1) Виходячи з умови нерівності підібрати допоміжну функцію, визначеному на вказаному в задачі проміжку. 2) Дослідити функцію на монотонність. 3) Визначивши характер монотонності записати відповідну йому нерівність за означенням зростаючої (спадної функції), або нерівність яка порівнює значення функції на проміжку з найбільшим (найменшим) значенням функції на цьому проміжку. 4) Проаналізувавши і перевіривши, якщо це потрібно, останню нерівність, зробити відповідний висновок про істинність заданої в умові задачі нерівності. Достатня умова екстремуму. Якщо функція неперервна в точці і похідна змінює знак при переході через точку , то - точка екстремуму функції Якщо знак змінюється з ”+” на ”-”, то - точка максимуму. Якщо знак змінюється з ”-” на ”+”, то - точка мінімуму.
Знаходження найбільшого (найменшого) значення функції, неперервної на відрізку. Якщо функція неперервна на відрізку і має на цьому відрізку скінченне число критичних точок, то вона набуває свого найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку або в критичних точках, які належать цьому відрізку, або на кінцях відрізка. Знаходження найбільшого (найменшого) значення функції, неперервної на інтервалі. Якщо неперервна функція має на заданому інтервалі тільки одну точку екстремуму і це точка мінімуму (максимуму), то на заданому інтервалі функція набуває свого найменшого (найбільшого) значення у точці . Приклад 1.Довести, що для всіх . Доведення. 1) Розглянемо функцію , . 2) . Отже, зростає на . 3) За означенням зростаючої функції якщо , то . 4) , . Звідси . Нерівність доведено. Приклад 2.Доведіть нерівність при . Доведення. 1) Розглянемо функцію . 2) . Знак похідної визначається знаком чисельника, оскільки . 2.1) Розглянемо допоміжну функцію , . 2.2) на . Отже, зростає на . В точці неперервна, . Тому, . Тобто (рівність можлива лише при ). 2.3) Звідси , . Отже, зростає на , тобто . Оскільки , то . 3) Маємо . Звідси .
1.2. Застосування достатньої умови існування екстремуму функції в точці до доведення умовних нерівностей з однією змінною. Приклад 3.Доведіть нерівність , при . Доведення. 1) Розглянемо функцію . 2) Дослідимо її на екстремум. . при . Оскільки при переході через точку похідна змінює знак з ”-” на ”+”, то за достатньою умовою екстремуму функції - точка мінімуму. . Оскільки це єдина точка з інтервалу , то в ній функція досягає свого найменшого значення , , тому . 3) . Звідси при . 1.3. Застосування правила знаходження найбільшого та найменшого значень функції на проміжку до доведення нерівностей виду , , де - найменше, - найбільше значення функції на . Приклад 4.Доведіть нерівність . Доведення. 1) Нехай . Введемо підстановку , . Маємо функцію , . Функції і мають однакові області значень. 2) Знайдемо найбільше та найменше значення функції на проміжку . . при . Обчислимо значення функції в китичній точці та на кінцях відрізка . Матимемо, , , . Отже, , . . 3) Ми одержали подвійну нерівність . 2. Доведення нерівностей з декількома змінними. Теоретичний матеріал. При доведенні нерівностей з декількома змінними використовують різні способи: 1) вводять допоміжну функцію, яку потім досліджують, 2) ділять нерівність на певний вираз, звівши цим самим її до нерівності з однією змінною, а потім діють за розглянутим у попередньому пункті алгоритмом, 3) вважають одну із букв змінною величиною, а значення решти букв фіксованими і при цьому діють також за вказаним алгоритмом. Приклад 5.Відомо, що . Доведіть, що . Доведення. Перенесемо доданки зі змінною в ліву сторону нерівності, а зі змінною у праву: . 1) Розглянемо допоміжну функцію . 2) Дослідимо її на монотонність: . Оскільки при (доведено у прикладі 1), то і зростає на . За означенням зростаючої функції якщо , то , тобто . 3) З останньої нерівності одержуємо , при . Приклад 6.Доведіть, що при , . Доведення. Поділивши обидві частини нерівності на , після певних перетворень приходимо до нерівності . Нехай , тоді матимемо нерівність: , . 1) Розглянемо допоміжну функцію , . 2) Дослідимо її на монотонність: якщо , оскільки за умовою. Отже, зростає на інтервалі . - неперервна в точці , . Тому коли (рівність можлива лише при ). Отже, , при . 3) Маємо, . Зробивши обернену заміну та необхідні тотожні перетворення, приходимо до нерівності . Якщо , то . Виходячи зі сказаного робимо висновок, що . Приклад 7.Доведіть, що нерівність має місце для будь-яких додатних значень . Доведення. Вважатимемо, що . 1) Розглянемо функцію , , . 2) Дослідимо її на монотонність: , то при . Оскільки неперервна в точці , то спадає на відрізку , звідси , тобто . (1) 3) Розглянемо другу функцію , , - фіксоване число. 4) Дослідимо на монотонність: . При . Оскільки неперервна в точці , то спадає на відрізку , звідси , тобто . Отже, . (2) З (1) і (2) за властивістю транзитивності маємо: . 5) Отже, . Підставивши замість , одержуємо нерівність яку слід було довести. Читайте також:
|
||||||||
|