МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Числові характеристики статистичного розподілу
Закон розподілу випадкової величини Х характеризує її з ймовірної точки зору. Між тим при вирішенні багатьох практичних задач достатньо знати тільки окремі її числові характеристики, що відображають найбільш істотні риси розподілу випадкової величини. Ми уже познайомилися з основними числовими характеристиками випадкових величин: математичним сподіванням, дисперсією, початковими та центральними моментами, асиметрією та ексцесом. Для статистичного розподілу існують такі ж самі числові характеристики. Справа зводиться до того, щоб по результатам експериментів знайти формули їх обчислень. Так аналогічно для математичного сподівання випадкової величини Х є середнє арифметичне результатів спостережень випадкової величини біля якого ґрунтуються її можливі значення
, (4.23)
де хі – значення випадкової величини в кожному і-ому досліді; n – кількість дослідів. Величину називають статистичним середнім випадкової величини Х. Слід зазначити, що при досить великій кількості дослідів п статистичне середнє або наближається до математичного сподівання випадкової величини Х і може бути прийнятим замість нього, тобто = » МХ.
Аналогією дисперсії випадкової величини Х є статистична дисперсія, що обчислюється за формулою
. (4.24)
В методі моментів обчислюють статистичні початкові та центральні моменти будь-якого порядку за формулами
; (4.25)
. (4.26)
Для статистичного ряду розбитого на групи, тобто для статистичної сукупності маємо
; (4.27)
, (4.28)
де nі - кількість результатів в і-ій групі; - статистичне середнє і-ої групи; - загальне статистичне середнє. Аналіз формул (4.20), (4.21) і (4.22) показує, що середнє арифметичне » МХ, а статистична дисперсія m2 » DX, тобто вони будуть найбільш вірогідними оцінками параметрів закону нормального розподілу. Слід зазначити, що при виведенні формул в ММП передбачали, що результати експерименту незалежні і проводились в однакових умовах. Тобто комплекс умов: об’єкт, суб’єкт, прилад, зовнішнє середовище і метод вимірювання були незмінними. Такі виміри називають рівноточними. При цьому дисперсії окремих вимірів будуть однаковими, тобто або . Це дозволяє нам стверджувати, що при рівноточних вимірах найближчим значенням вимірюваної величини є середнє арифметичне (формула 4.20), а значенням дисперсії буде (формули 4.21 та 4.22). Проте на практиці не завжди можна зберегти незмінність комплексу умов. Тоді кожен результат експерименту буде дещо відрізнятися по точності і кожній випадковій величині буде відповідати своя дисперсія , тобто статистичний ряд буде мати вигляд
х1, х2, ... , хп, . (4.29)
Такі виміри, коли дисперсії ¹ , називають нерівноточними. Для визначення приблизних значень вимірюваної величини та дисперсії при нерівноточних вимірах, виходячи з того, що ¹ , систему рівнянь (4.19) запишемо у вигляді
. (4.30)
В теорії математичної обробки при нерівноточних вимірах вводять поняття ваги, тобто , (4.31) де рі - вага виміру, або вага випадкової величини хі. Тоді статистичний ряд (4.29) можна переписати в вигляді х1, х2, ... , хп, р1, р2, ... , рп.(4.32)
Вага рі буде характеризувати міру відносної точності результатів експериментів. При цьому їх можна збільшувати, чи зменшувати на однакове число С. Тоді формула (4.31) буде
. (4.33)
Для спрощення вводять поняття середнього квадратичного відхилення одиниці ваги - . Тоді вага буде обчислюватися за формулою
, (4.34)
а систему рівнянь (4.30) можна переписати у вигляді
;
.
Із їх сумісного розв’язання знаходять формули обчислення загальної арифметичної середини і середнього квадратичного відхилення одиниці ваги
; (4.35)
. (4.36)
Очевидно оцінка дисперсії одиниці ваги m2 » Dxбуде зміщеною. По аналогії з формулою (4.22) незміщеною оцінкою дисперсії одиниці ваги при нерівноточних вимірах буде
. (4.37)
Статистичною оцінкою стандарту або середнього квадратичного відхилення sбуде середня квадратична похибка
. (4.38)
При відомому істинному значенню визначуваної величини а її обчислюють за формулою Гаусса
. (4.39)
Якщо істинне значення визначуваної величини невідоме, то застосовують формулу Бесселя
, (4.40)
де - середнє арифметичне; п – число результатів експерименту. Додатковими статистичними характеристиками нормального закону розподілу є асиметріята ексцес. Асиметрія являє собою нормований центральний момент третього порядку, тобто
. (4.41)
Ексцес є мірою крутизни і визначається по формулі
,(4.42)
де ; .
Приклад 1. В таблиці 4.3 приведені результати експерименту при дослідженні випадкової величини Х. Визначити числові характеристики статистичного розподілу: , , і . Таблиця 4.3
Розв’язання. По формулам (4.10) – (4.13) отримаємо
= = (-10 –2 + 4 –1 + 4 + 12 + 9) / 7 = + 2; = {(-10-2)2 + (-2 +2)2 + (4 – 2)2 + (-1 –2)2 + (4 – 2)2 + (12 – 2)2 + + (9-2)2} / 7 = 310/7 = 44,3;
= {(-10)2 + (-2)2 + 42 + (-1)2 + 42 + 122 + 92 } / 7 = 51,7; = {(-12)3 + 03 + 23 + (-3)3 + 23 + 103 + 73} / 7 = 444,9.
Приклад 2. Із статистичного ряду отримано статистичну сукупність (табл..4.4, рядки 1-7). Обчислити статистичний початковий момент першого порядку та дисперсію другого порядку . Таблиця 4.4
Розв’язання. В рядку 5 визначають загальне середнє статичне. Якщо = 180, то за формулою (4.14) обчислюємо:
= . Потім обчислюють відхилення середніх групи від загального середнього статистичного . = 4.5. В рядку 7 обчислюють . Тоді статистична дисперсія буде дорівнювати .
Для системи двох випадкових величин(х,у)
Числові характеристики визначають за результатами п-незалежних дослідів, які виконують в однакових умовах по значенням:
Х ® х1, х2, ..., хп; Y ® y1, y2, … , yn. В свою чергу системи випадкових величин (хі, уі) незалежні, а математичні сподівання, дисперсії і кореляційні моменти будуть однакові, тобто
.
Виходячи з того, що випадкові величини х і у та система (Х,Y)підкоряються нормальному закону розподілу, а математичні очікування та дисперсії є характеристиками окремих випадкових величин Х і Y із системи (Х, Y),то згідно формул (4.20) і (4.22) маємо
; (4.43)
; (4.44)
; (4.45)
(4.46)
Незміщена та обґрунтована оцінка кореляційного моменту системи випадкових величин (х,у) визначається за формулою
. (4.47)
Статистичний коефіцієнт кореляції обчислюють за формулою
, (4.48)
де mx та my обчислюють за формулами
; (4.49)
. (4.50)
Коефіцієнт кореляції знаходиться в межах
-1 £ £ +1. Якщо коефіцієнт кореляції близький до ±1, то між випадковими величинами існує прямолінійний зв’язок. Рівняння регресії визначають за формулами , або (4.51)
де ; - коефіцієнти регресії.
Приклад 3. Коефіцієнт Кі нитяного віддалеміра визначався на різних відстанях Dі від точки установки приладу. Обчислити числові характеристики системи випадкових величин (D,К):математичні сподівання, дисперсії та коефіцієнт кореляції. Результати експерименту наведені в табл. 4.5
Таблиця 4.5
Розв’язання. Для наочності обчислення зведемо в табл.4.6
Таблиця 4.6
D визначено в сотнях метрів
Спочатку по формулами (4.43) і (4.44) обчислюють середні арифметичні і
; .
В графах 3 і 4 таблиці 4.5 обчислюють відхилення Di і Кі від середніх арифметичних і . Контроль: суми відхилень повинні дорівнювати нулю, або величині, що обумовлена помилкою закруглення середніх і . Далі в графах 5 і 6 обчислюють квадрати відхилень і їх суми: та . Це дозволяє за формулами (4.45) і (4.46) визначити дисперсії і та за формулами (4.49), (4.50) статистичні стандарти mD і mk
= ; = 0,46; = ; = 0,75. По формулі (4.47) обчислюємо кореляційний момент, а по формулі (4.48) коефіцієнт кореляції
;
.
Так як r* = 0,81, що досить близько до 1, то можна передбачити, що між величинами D і K існує прямолінійний зв’язок. Спочатку обчислимо коефіцієнт регресії
.
По формулі (4.37) рівняння регресії К по D буде
К = 99,5 + 1,32 D - 1,32 × 0,9 ,
або К = 1,32 D + 98,31. По результатам обчислень можна побудувати графік регресії (рис.4.4)
Рис.4.4
Для побудови прямої регресії обчислено значення двох точок К1 = 98,31 при D = 0м і К2 = 99,5 при D = 100м, які наносимо на графік і проводимо через них пряму лінію. Такий спосіб визначення оцінок невідомих параметрів називають точковим, а самі оцінки – точковими. Його недоліками є те, що точкова оцінка не збігається з величиною аі.Це особливо видно при невеликій кількості результатів експерименту. До цього для визначення точності точкової оцінки слід знати і дисперсію
Читайте також:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|