• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Інтервальні статистичні оцінки. Довірчий інтервал і його надійність. Побудова довірчих інтервалів для параметрів нормального закону розподілу

ГЛАВА VI

ІНТЕРВАЛЬНІ СТАТИСТИЧНІ ОЦІНКИ.

СТАТИСТИЧНІ ГІПОТЕЗИ І КРИТЕРІЇ УЗГОДЖЕННЯ

Інтервальні статистичні оцінки. Довірчий інтервал і його надійність. Побудова довірчих інтервалів для параметрів нормального закону розподілу

Вибіркова оцінка параметра розподілу генеральної сукупності сама є випадковою величиною з певним законом розподілу. Тому наближена заміна може привести до істотних похибок особливо при малому об’ємі вибірки. У випадку, коли вибіркова оцінка не надійна, використовують інтервальні оцінки параметрів розподілу.

Якщо при реалізації вибірки встановлюють два числа такі, що , то кажуть, що числа і утворюють інтервальну оцінку параметра розподілу . Але усі оцінки і , знайдені за даними вибірки, самі є випадковими величинами. Тому й подія, яка полягає в тому, що буде мати місце нерівність , теж є випадковою і має певну ймовірність здійснення.

Інтервал називається довірчим інтервалом з надійністю для оцінювання параметра розподілу , якщо виконується рівність

. (37.1)

Як можна бачити з означення, число у правій частині рівності (37.1) називається надійністю довірчого інтервалу .

Нехай відомо, що ознака генеральної сукупності розподілена за нормальним законом з . Реалізована вибірка об’єму значень цієї ознаки . Необхідно за даними вибірки здійснити інтервальні оцінки параметрів розподілу і з надійністю .

Почнемо з побудови довірчого інтервалу за умови, що відома дисперсія . Візьмемо обчислене за даними здійсненої вибірки вибіркове середнє і визначимо число так, що виконується рівність

. (37.2)

Вже було показано, що при нормальному законі розподілу генеральної сукупності теж розподілена за нормальним законом з параметрами розподілу . Тому для обчислення ймовірності у (37.2) можна скористатись формулою (21.4)

Після підстановки результатів обчислення у (37.2) маємо

.

Розглянемо рівняння

.

і будемо вважати, що – його розв’язок, який буде єдиним, оскільки зростаюча функція. Оберемо число так, щоб

.

Тоді є вірною рівність

Але остання рівність еквівалентна наступній

. (37.3)

Рівність (37.3) згідно з (37.1) означає, що інтервал

є довірчим інтервалом для математичного сподівання з надійністю .

Отриманий довірчий інтервал має той недолік, що ним можливо користуватися у випадку, коли є досить точна вибіркова оцінка для дисперсії . Розглянемо проблему побудови довірчого інтервалу для математичного сподівання при невідомому значенні дисперсії. Для цього необхідно скористатися тим, що випадкова величина

, (37.4)

як було відмічено у §34, розподілена за законом Ст’юдента з ступенями свободи, де – вибіркове середнє, а – незміщена вибіркова дисперсія

Розглянемо рівність (37.2), в яку підставимо знайдене з (37.4) значення:

.

Отримаємо:

. (37.5)

Нехай густина розподілу Ст’юдента з ступенями свободи. Тоді маємо

. (37.6)

Позначимо через розв’язок рівняння

. (37.7)

Значення може бути наближено знайдено за допомогою відповідних таблиць.

Визначимо величину з умови

.

Тоді є вірною наступна рівність, що випливає (37.2)

.

Або

. (37.8)

Рівність (37.8) означає, що є довірчим інтервалом для математичного сподівання з надійністю .

Розглянемо питання побудови довірчого інтервалу для дисперсії . Припустимо, що за даними вибірки обчислено незміщену вибіркову дисперсію . Визначимо числа і з умови

. (37.9)

Для цього скористаємось законом розподілу випадкової величини ( –розподілу з ступенями свободи).

.

Тепер, якщо врахувати

,

(37.9) перепишемо у вигляді:

або

. (37.10)

Нехай – функція –розподілу з степенями свободи, тоді з (37.10) знайдемо

.

Нехай числа і такі, що виконуються рівності

.

Наближені значення , можуть бути знайдені за допомогою відповідної таблиці. Оберемо так, щоб виконувались рівності

,

звідки

.

Тепер, якщо знайдені підставити у (37.9), то рівність

є вірною. Останнє означає, що інтервал є довірчим інтервалом для дисперсії з надійністю .

Читайте також:

1. C. 3. Структурна побудова управління організаціями.
2. I. Доповнення до параграфу про точкову оцінку параметрів розподілу
3. IV. ДІЯ ЦЬОГО ЗАКОНУ І ОСОБЛИВОСТІ ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ
4. VII розділ. Маркетингові рішення з розподілу та збуту товару
5. Абсолютні і відносні статистичні величини
6. Абсолютні статистичні показники.
7. Авоматизація водорозподілу регулювання за нижнім б'єфом з обмеженням рівнів верхнього б'єфі
8. Автоматизація водорозподілу з комбінованим регулюванням
9. Автоматизація водорозподілу на відкритих зрошувальних системах. Методи керування водорозподілом. Вимірювання рівня води. Вимірювання витрати.
10. Автоматизація водорозподілу регулювання зі сталими перепадами
11. Автоматизація водорозподілу регулюванням з перетікаючими об’ємами
12. Автоматизація водорозподілу регулюванням за верхнім б'єфом

Переглядів: 1693