МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Вільні коливання систем з двома ступенями свободиРозглянемо вільні коливання механічної системи, що має два ступені свободи. Прикладами таких систем є: механічна система пов'язаних маятників (рис. 4.1), пов'язані електричні контури (рис. 4.2), трьохатомна молекула (рис. 4.3).
Рисунок 4.1– Пов'язані маятники
Рисунок 4.2 – Коливальні контури з індуктивним зв'язком
Рисунок 4.3 - Трьохатомна молекуда води
Використовуючи вирази кінетичної і потенційної енергій системи в узагальнених координатах і , рівняння Лагранжа призводять до диференціальних рівнянь вільних коливань виду
(4.1)
Уявімо систему (4.1) у формі
(4.2)
звідки видно, що ліві частини є рівняннями лінійних консервативних систем, а праві частини характеризують сили зв'язку між ними. Коефіцієнти , характеризують зв'язок між так званими парціальними системами. Будь-яку складну систему з двома ступенями свободи можна розглядати як систему, що складається з двох окремих систем з одним ступенем свободи, пов'язаних один з одним. Ці окремі системи називають парціальними. Зв'язність систем означає, що коливання в одній системі впливають на коливання в інший і навпаки. Будь-яку складну систему з двома ступенями свободи можна розглядати як систему, що складається з двох окремих систем з одним ступенем свободи, пов'язаних один з одним. Ці окремі системи називають парціальними. Зв'язність систем означає, що коливання в одній системі впливають на коливання в інший і навпаки. Приймемо для подальшого вивчення коливання системи, що парціальна система, відповідна даної незалежної координаті, отримана з повної, коли всі координати системи, крім данної, рівні тотожно нулю. З (4.2) видно, що парціальні частоти рівні
, .
З властивостей позитивної визначеності квадратичних форм Т та П випливає, що
(4.3)
(критерій Сильвестра). Приватні рішення системи (4.1) шукаємо у вигляді простого гармонійного закону: , . (4.4)
Підставляючи (4.4) в рівняння (4.1) одержимо рівняння для амплітуд
(4.5)
Позначимо відношення узагальнених координат, рівне відношенню амплітуд коливань, через . (4.6)
Нетривіальне рішення системи (4.5) буде тільки в тому випадку, коли її визначник дорівнює нулю, що дає рівняння власних частот коливань
. (4.7)
або
(4.8)
Досліджуємо функцію . Коефіцієнт при (див. 4.8) і вільний член більше нуля згідно критерію Сильвестра (4.3): це означає, що графік функції є парабола з гілками, спрямованими вгору. З (4.8) видно, що при рівної однієї з парціальних частот та . Корені рівняння (4.8) визначають власні частоти системи. Зобразимо графік функції (рис. 4.4).
Рисунок 4.4 – Закон розподілу власних частот системи
Графік ілюструє відому теорему Релея: нижча частота власних коливань системи завжди менше найменшої парціальної частоти , а вища частота завжди більше найбільшої парціальної частоти . Відповідні частотам і коливання називають головними коливаннями системи. Меншу з частот називають основною частотою, а перше головне коливання називають основним коливанням (воно є основним у результуючому русі системи). Визначивши і , з рівняння (4.8) знайдемо два значення , відповідні кожному з головних коливань:
(4.9)
Величини , характеризують форми головних коливань і їх називають коефіцієнтами розподілу амплітуд, тобто вони показують у скільки разів амплітуда відповідного коливання в одній з координат більше (або менше) амплітуди іншої координати. Позначивши значення узагальнених координат і амплітуд коливань, відповідних першому головному коливанню, індексом (1), маємо (4.10)
для другого головного коливання - індексом (2), то
(4.11)
Загальне рішення системи диференціальних рівнянь (4.1) виходить шляхом підсумовування приватних рішень
(4.12)
де , , і знаходяться з початкових умов. Висновки: 1. Рішення (4.12) показує, що кожне з головних коливань окремо є простим гармонійним коливанням, але результуючий рух являє собою складний рух. 2. Якщо система здійснює одне з головних коливань (див. 4.12), то обидві узагальнені координати змінюються синхронно, тобто мають однакові частоти і фази коливань. 3. У кожному з головних коливань амплітуди знаходяться в постійному співвідношенні ( або ), що не залежить від початкових умов і залежить тільки від структури системи.
Биття Розглянемо систему з двома ступенями свободи за умови близькості власних частот: . Тоді рішення (4.12) для узагальненої координати, наприклад,
(4.13)
можна записати у вигляді
(4.14)
Введемо позначення:
и ,
які називають «середньою» частотою і частотою «модуляції» відповідно. Замість (4.14) зручно записати
, (4.15)
де , – повільно мінливі періодичні функції часу. Остаточно отримуємо замість (4.13) функцію
, (4.16)
де , , тобто рух носить синусоїдальний характер з амплітудою, що періодично повільно змінюється. Графік зміни зображений на рис. 4.5 .
Рисунок 4.5 – Графік биття однієї узагальненої координати Такі коливання називаються биттям. Рух, відповідний координаті , також відбувається за законом биття, але зрушеним по фазі щодо . Цей факт свідчить про обмін енергією між ступенями свободи. Відзначимо, що в будь-якій системі з двома ступенями свободи можна створити биття.
|
||||||||
|