Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Перетворення швидкостей і прискорень у релятивістській кінематиці

Значення v і v` швидкості матеріальної точки в двох інерційних системах відліку К і К¢ дорівнюють:

= v_xi +v_yj + v_zk, = v`_xi` +v`_yj` + v`_zk` ,

де r = x i +y j+ z kі r` = x` i` +y` j`+ z` k` – радіуси-вектори декартових координат систем відліку К і К¢. Проекції швидкостей v і v` на осі декартових координат дорівнюють:

, , , , , і .

Якщо відповідні осі декартових координат систем відліку К¢ і К попарно паралельні і система К¢ рухається відносно К зі сталою швидкістю V, напрямленою вздовж осі ОХ, притому в момент початку відліку часу в К і К¢ (t=0 і t`=0) початки координат О і О¢ цих систем відліку збігаються. З перетворень Лоренца випливає, що зв’язок між проекціями точки на осі декартових координат в системах К і К¢ має вигляд:

, ,

, .

Ці формули виражають закон складання швидкостей у релятивістській кінематиці. У границі при с®¥ вони призводять до звичайного закону складання швидкостей у класичній механіці (2.8.2):

v`_x` = v_x – V, v`_y` = v_y, v`_z` = v_z і v` = v – V.

Зв’язок між квадратами модулів векторів v і v`

і .

Зокрема, якщо v` = c, то v = c і навпаки. Отже, якщо швидкість частинки відносно якої-небудь інерційної системи відліку дорівнює швидкості світла у вакуумі, то вона повинна бути такою ж за величиною відносно будь-якої іншої інерційної системи відліку незалежно від швидкості відносного руху цих систем відліку. Інакше кажучи, сума двох швидкостей, із яких одна рівна с, завжди дорівнює с. У цій закономірності, яка виявляється при русі таких елементарних частинок, як фотони і нейтрино, проявляється граничний характер швидкості світла у вакуумі.

Із отриманих співвідношень видно, що частинка, яка рухається відносно якої-небудь інерційної системи відліку з меншою від с швидкістю, має швидкість відносно будь-якої іншої інерційної системи відліку теж меншу від с (наприклад, якщо v < c , то v` < c, і навпаки). Звідси, зокрема, випливає, що якими б не були близькими до с швидкості двох частинок, їх відносна швидкість завжди менша за с. Наприклад, нехай дві частинки рухаються вздовж осі ОХ системи відліку К зі швидкостями, відповідно рівними v₁= 0,8ci і v₂= – 0,8ci. Швидкість u₂₁ другої частинки відносно першої не дорівнює, як це вважається в класичній механіці, геометричній різниці v₂– v₁= – 1,6ci хоча б тому, що модуль цієї швидкості переважає с. Шукана швидкість дорівнює швидкості другої частинки відносно інерційної системи відліку К¢, яка рухається разом із першою частинкою (V = 0,8ci), тобто u₂₁=v`₂.

Із наведених вище формул випливає, що

= -0,976с, = 0,

тобто u₂₁=–0,976ci і ½u₂₁½< c.

Проекції прискорення матеріальної точки на осі декартових координат двох інерційних систем відліку К і К¢, пов¢язані між собою такими співвідношеннями:

5.6. Основний закон релятивістської динаміки

У класичній (ньютонівській) механіці вважалось, що маса тіла має одне і те саме значення в різних інерційних системах відліку. Досліди над тілами, швидкість руху яких менша за швидкість світла, підтверджували таке припущення. Проте, відношення справедливе лише при достатньо невеликих швидкостях. Якщо швидкості тіл зростають, то це співвідношення починає зростати зі швидкістю. У релятивістській механіці, на відміну від класичної, маса матеріальної точки не є сталою, а залежить від швидкості v цієї точки. Її значення m різне в двох інерційних системах відліку, що рухаються одна відносно іншої. Залежність маси від швидкості виражається формулою:

де m₀ – маса спокою частинки (матеріальної точки), тобто її маса, виміряна в тій інерційній системі відліку, відносно якої частинка перебуває в спокої, с – швидкість світла у вакуумі. Масу m часто називають релятивістською масою. Іншими словами, маса однієї ї тієї самої частинки різна в різних неінерційних системах відліку. На відміну від релятивістської маси маса спокою частинки m₀ є інваріантною величиною, тобто вона є однаковою в різних системах відліку.

Вплив швидкості частинки на величину її релятивістської маси стає суттєвим тільки при значеннях v, близьких до с. Наприклад, m/m₀ = 1,005 при v/c = 0,1 і m/m₀ = 2,29 при v/c = 0,9. Із закону залежності m від v видно, що частинки з масою спокою m₀ не можуть рухатися зі швидкостями, більшими чи рівними с (v<c). У той же час частинки, маса спокою яких дорівнює нулю (фотони та нейтрино), не можуть мати швидкість, відмінну від с.

За аналогією з класичною механікою вводиться імпульс релятивістської частинки:

який є нелінійною функцією її швидкості.

Вектор p іноді називають релятивістським імпульсом матеріальної точки (на відміну від значення m₀v її імпульсу в класичній механіці). Імпульс m₀v,який вводивсяв класичній механіці, не зберігається для замкненої системи релятивістських частинок. В результаті, виникла альтернатива: або відмовитися від класичного означення імпульсу або від закону збереження цієї величини. Закони збереження відіграють дуже важливу роль в природі, тому в теорії відносності за фундаментальний беруть саме закон збереження імпульсу, і виходячи з цього знаходять вираз для самого імпульсу. Дослід показує, що саме релятивістський імпульс частинки, введений в описаним вище способом, підкоряється закону збереження імпульсу незалежно від вибору інерційної системи відліку. Очевидно, що при v<<c імпульс p = mv» m₀v.

Внаслідок однорідності простору у релятивістській механіці справедливим є закон збереження релятивістського імпульсу: імпульс замкненої системи не змінюється з часом.

Із цього закону випливає закон збереження релятивістської маси: при будь-яких процесах, які відбуваються в замкненій системі, її повна релятивістська маса не змінюється.

За принципом відносності Ейнштейна, всі закони природи мають бути однакові в різних інерційних системах відліку. Тобто, математичні формулювання фізичних законів повинні мати однаковий вигляд в різних інерційних системах відліку. Це має стосуватись і динаміки. Але, як показує ретельний аналіз, основне рівняння динаміки Ньютона не узгоджується з принципом відносності. Перетворення Лоренца, які застосовуються при переході до іншої інерційної системи відліку, надають основному рівнянню динаміки зовсім іншу форму. Очевидно, основне рівняння динаміки в релятивістському випадку повинно мати інший вигляд, і лише при v<<c переходити в ньютонівське рівняння. Таким вимогам відповідає рівняння, яке назвали основним законом релятивістської динаміки: швидкість зміни релятивістського імпульсу матеріальної точки дорівнює силі F, яка діє на цю точку, тобто

, або .

Примітка. Якщо на матеріальну точку одночасно діють кілька сил, то під силою F треба розуміти рівнодійну силу.

Елементарна робота сили F на малому переміщенні dr точки її прикладання dA = (F dr) = (Fv) dt.

Із основного закону релятивістської динаміки і формули залежності маси від швидкості випливає, що

і .

Тому

dA = (Fv) dt = m (vdv) + v²dm = mvdv + v²dm = c²dm.

Прискорення, яке сила F надає матеріальній точці,

Таким чином, на відміну від класичної механіки, в релятивістській механіці прискорення матеріальної точки, взагалі кажучи, не збігається за напрямком із силою, яка його спричиняє. Вектор а колінеарний силі F тільки в двох випадках:

а) сила F спрямована перпендикулярно до швидкості v точки (поперечна сила), так що (Fv) = 0 і

;

б) сила F напрямлена паралельно вектору v швидкості точки (поздовжна сила), так що v(Fv) = v²F і

Поздовжна сила надає матеріальній точці прискорення у (1–v²/c²) ^–1 разів менше, ніж така ж за величиною поперечна сила. Це пов¢язано з тим, що поперечна сила зумовлює зміну швидкості точки тільки за напрямком (модуль швидкості і релятивістська маса точки не змінюються), а поздовжна сила спричиняє зміну значення модуля швидкості точки та її маси. Якщо швидкість частинки близька до релятивістської, то для зміни абсолютного значення її швидкості треба прикласти значно більшу силу, ніж для зміни її напрямку. Тобто, дуже швидка частинка легше змінює напрямок швидкості, ніж її абсолютне значення.

5.7. Закон взаємозв¢язку маси та енергії

Приріст кінетичної енергії W_k матеріальної точки дорівнює роботі, яку виконує діюча на цю точку сила F:

dW_k = dA = c²dm ,

де dm – відповідний приріст релятивістської маси частинки матеріальної точки. Звідси випливає

W_k = m₀c² ,

де m₀ – маса спокою. Розкладаючи (1–v²/c²)^–1/2 в ряд Маклорена, одержуємо:

W_k = m₀c² .

При v<<c ця формула призводить до звичайного виразу кінетичної енергії в класичній механіці:

Збільшення кінетичної енергії тіла повинно супроводжуватися відповідним збільшенням його релятивістської маси m:

dm = dW_k.

Зміна інших видів енергії тіла також пов¢язана зі зміною його маси. Наприклад, якщо при нагріванні тіла в спокої його внутрішня енергія збільшується на dU, то маса m цього тіла, рівна його масі спокою m₀, збільшується на

dm = dm₀= dU .

У загальному випадку зміна повної енергії W тіла на dW супроводжується зміною його релятивістської маси на величину

dm = dW .

Відповідно до цього, між W і m існує універсальне співвідношення:

W = mc² = ,

яке виражає закон взаємозв¢язку маси та енергії: повна енергія тіла (або системи) дорівнює добуткові релятивістської маси цього тіла (або системи) на квадрат швидкості світла у вакуумі.

Внаслідок однорідності часу, в релятивістській механіці, як і в класичній, витримується закон збереження енергії: повна енергія замкненої системи не змінюється з часом.

Із закону взаємозв¢язку маси та енергії випливає, що закони збереження релятивістської маси і повної енергії не є незалежними законами.

Повна енергія частинки або системи частинок у стані спокою (наприклад, атомного ядра, атома, молекули, тіла), що дорівнює

W₀= m₀c²,

де m₀ – маса спокою, називається енергією спокою частинки або системи. Значення m₀ і W₀ не залежать від вибору інерційної системи відліку. Для безструктурної (елементарної) частинки вони є незмінними її характеристиками, подібно, наприклад, до електричного заряду та спіну частинки. Маса та енергія спокою системи частинок залежать від її складу і внутрішнього стану. Наприклад, маса спокою збудженого ядра (або атома) більша, ніж маса спокою того ж ядра (або атома) в нормальному стані.

Повна енергія частинки W та її імпульс p пов’язані співвідношеннями:

і , або .

Значення повної енергії, релятивістської маси та імпульсу даної частинки, на відміну від її маси спокою m₀, відносні, тобто відмінні в двох інерційних системах відліку К (W, m, p) і К¢ (W¢, m¢, p¢). Проте різниця квадрату повної енергії частинки, поділеної на c², і квадрату імпульсу цієї частинки, подібно до інтервалу між двома подіями, не залежить від вибору інерційної системи відліку:

При переході від однієї інерційної системи відліку К до іншої К¢, яка рухається зі швидкістю вздовж осі ОХ, проекції імпульсу частинки на осі координат і її повна енергія перетворюються таким чином:

,
,
,
,	.

Із закону збереження релятивістської маси та повної енергії зовсім не випливає, що маса та енергія спокою замкненої системи не можуть змінюватися. Наприклад, сума мас спокою вільних протонів і нейтронів зважди більша, ніж маса спокою утвореного з них атомного ядра.

Для характеристики систем, які мають запас міцності (наприклад, атомних ядер, атомів, молекул і т.п.), вводиться поняття енергії зв¢язку. Енергія зв¢язку системи вимірюється тією найменшою роботою, яку треба виконати, щоб розкласти систему на її складові частини (наприклад атом – на ядро та електрони). Енергія зв¢язку системи

де M₀ – маса спокою системи, яка складається з n частинок, а m_oi – маса спокою і-ї частинки у вільному стані. Величину

іноді називають дефектом маси системи.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Відносність довжин і проміжків часу. Інтервал між двома подіями	\|

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.009 сек.