• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Диференціальне рівняння рівноваги рідини (рівняння Ейлера)

Розглянемо загальний випадок спокою рідини. Для цього в просторі дослідної рідини оберемо систему координатних осей x, y, z з центром в точці 0 і фіксуємо довільну точку А з координатами x, y, z.

Тоді навколо точки А виділимо нескінченно малий паралелепіпед 1-2-3-4-5-6-7-8 з нескінченно малими сторонами dx, dy, dz, так щоб точка А знаходилась в центрі цього паралелепіпеда. Гідростатичний тиск, що виникає в точці А під дією зовнішніх сил, позначимо через р. Даний паралелепіпед буде в рівновазі в тому випадку, якщо сума проекцій всіх діючих сил на любу з координатних осей буде рівна нулю.

Зовнішніми силами, що діють на рідкий паралелепіпед є:

Поверхневі сили, обумовлені тиском сусідніх шарів рідини

І масові сили, пропорційні масі паралелепіпеда;

Так як масові сили різноманітні і вони можуть діяти на рідину в різній сукупності, то будемо вважати, що нам відомі одиничні проекції сумарних масових сил на координатні вісі і позначимо їх через X, Y, Z

Тоді проекція об’ємних сил на вісь х буде рівна:

;

де

А значить і

Аналогічно проекції на вісь Y, Z

,

Х, Y, Z – мають розмірність прискорення і є проекціями прискорення на координатну вісь, та характеризують інтенсивність масової сили.

Розставимо сили гідростатичного тиску на грані 1-2-3-4 та 5-6-7-8 дані сили діють нормально до граней тобто направлені вздовж вісі х. Проведемо через точку А горизонтальну лінію ВС яка пересіче грань паралелепіпеда 1-2-3-4 в точці В, а грань 5-6-7-8 в точці С. Сили гідростатичного тиску позначимо через р_с та р_в

та

де частинна похідна називається градієнтом гідростатичного тиску.

Тоді сили гідростатичного тиску на площадки Р_хВ та Р_хС:

, .

Спроектувавши на вісь х всі зовнішні сили, що діють на паралелепіпед, отримаємо

.

Оскільки сили гідростатичного тиску Р_хВ та Р_хС є нормальними до граней 1-2-3-4 та 5-6-7-8 спроектуються на вісь х в натуральну величину. Проекції ж інших сил гідростатичного тиску, що діють на інші грані будуть рівні нулю і тому в рівняння не ввійдуть. Тоді рівняння можна записати як:

після нескладних перетворень отримаємо

Аналогічно рівняння рівноваги відносно осей у та z:

Отримані рівняння і є диференціальним рівнянням рівноваги рідини Ейлера.

Ці рівняння показують, що тиск в рідині залежить від інтенсивності масових сил. Це фізичний зміст рівняння.

Якщо рідина не стислива, то ці рівняння мають одну невідому величину – тиск р. Якщо рідина стислива, то ці рівняння мають дві невідомі величини – тиск р і густину . І щоб система була замкнута потрібно додати рівняння стану газу .

Загальне диференціальне рівняння рівноваги. Інтеграл Ейлера.

Помножимо диф. рівняння на dx, dy, dz і відповідно складемо:

Додамо дану систему рівнянь:

*

Ліва частина виразу є повним диференціалом тиску р.

Рівняння * може мати рішення тільки в тому випадку, якщо і права частина його теж буде повним диференціалом. А це можливо якщо існує якась силова функція , котра залежить від координат і частинні похідні які дорівнюють проекціям одиничних масових сил. Цю функцію називають потенційною силовою функцією.

, ,

А сили, що відповідають цій функції називають силами, що мають потенціал (консервативні сили).

Отримане рівняння є загальним диференціальним рівнянням рівноваги, рішенням якої є інтеграл Ейлера.

Інтеграл Ейлера показує, що в однорідній рідині тиск змінюється за таким же законом як і силова функція.

Переглядів: 2883