• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Теорема 1 (перше правило).

Нехай функція неперервна на деякому інтервалі, в якому міститься критична точка х₀, і диференційовна в усіх точках цього інтервалу (крім, можливо, самої точки х₀). Якщо при переході зліва направо через цю точку похідна:

1) змінює знак з «+» на «–», то при х = х₀ функція має максимум;

2) змінює знак «–» на «+», то функція має у цій точці мінімум;

3) не змінює свого знака, то функція в точці х = х₀ екстремуму не має.

Геометрична ілюстрація теореми 1 (рис. 5). Нехай у точці х = х₁ маємо і для всіх х, достатньо близьких до точки х₁, виконуються нерівності

Рис. 5

Тоді при дотична до кривої утворює з віссю Ох гострий кут — функція зростає, а при дотична утворює з віссю Ох тупий кут — функція спадає; при х = х₁ функція переходить від зростання до спадання, тобто має максимум.

Якщо в точці х₂ маємо і для всіх значень х, достатньо близьких до точки х₂, виконуються нерівності

то при дотична до кривої утворює з віссю Ох тупий кут — функція спадає, а при дотична до кривої утворює гострий кут — функція зростає. При х = х₂ функція переходить від спадання до зростання, тобто має мінімум.

Якщо при х = х₃ маємо і для всіх значень х, достатньо близьких до х₃, виконуються нерівності при ; при , то функція зростає як при , так і при . Звідси при х = х₃ функція не має ні максимуму, ні мінімуму.

Зауваження. На основі даної теореми можна сформулювати таке правило для дослідження неперервної функції на максимум і мінімум.

1. Знаходимо першу похідну функції, тобто .

2. Обчислюємо критичні значення аргументу х (критичні точки), для цього:

а) прирівнюємо першу похідну до нуля і знаходимо дійсні корені здобутого рівняння ;

б) знаходимо значення х, для яких похідна має розрив.

3. Досліджуємо знак похідної ліворуч і праворуч від критичної точки. Оскільки знак похідної залишається сталим в інтервалі між двома критичними точками, для дослідження знака похідної ліворуч і праворуч, наприклад від критичної точки х₂, досить визначити знак похідної в точках і , де х₁ і х₃ — найближчі критичні точки).

4. Обчислюємо значення функції у кожній критичній точці.

Таким чином, маємо таке схематичне зображення можливих випадків:

Теорема 2 (друге правило). Якщо для диференційовної функції у деякій точці х₀ її перша похідна дорівнює нулю, а друга похідна існує й відмінна від нуля, тобто , , то:

1) якщо друга похідна , то в точці х₀ функція має мінімум;

2) якщо — максимум;

3) якщо — питання залишається відкритим, і для його розв’язання треба застосувати перше правило.

Зауваження. Для критичних точок, в яких похідна функції не існує або дорівнює нескінченності, друге правило не застосовується.

6. Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Якщо функція неперервна на проміжку [a; b], то вона набуває на цьому проміжку свого найбільшого й найменшого значення.

Найбільше значення функції на проміжку [a; b] називається абсолютним максимумом, а найменше — абсолютним мінімумом.

Припустимо, що на даному проміжку функція має скінченне число критичних точок. Якщо найбільше значення досягається в середині проміжку [a; b], то очевидно, що це значення буде одним із максимумів функції (якщо існує кілька максимумів), точніше — найбільшим максимумом. Однак можливо, що найбільше значення досягатиметься на одному з кінців проміжку.

На підставі результатів дослідження будуємо графік функції. Для точнішої побудови візьмемо додатково точки на рис. 6: (–5; – 0,3), , (2; 3), (3; 1,3).

Рис.6

Переглядів: 389