Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Лінійна регресія

Припустимо, що форма функціональної залежності між змінними x та y, відома з точністю до параметрів a 0, a 1, ..., ak–1 і має вигляд

y = f (x, a0, a1, ..., ak–1). (9.101)

Функція f називається функцією регресії величини Y на X, а співвідношення (3.101) – рівнянням регресії Y на X. Вимагається за результатами спостережень (вибірки) (xi, yi) , i = 1, 2, ..., знайти оцінки невідомих параметрів a 0, a 1, ... , a k–1.

Завданнями регресійного аналізу є:

1) встановлення форми залежності. Як правило, ця форма стає відомою за даними спостережень (див. Рис. 3.15), де точки (xi ; y i) – значення вибірок (вимірювань)

а б в

Рис. 9.15

2) визначення функції регресії (9.100). Процес знаходження функції регресії називається вирівнюванням окремих значень залежної змінної;

3) оцінка невідомих значень залежної змінної y за оцінками параметрів, що входять в рівняння регресії.

Розглянемо частковий випадок функцій регресії – лінійні функції y = a + bx, які називаються регресійними прямими, або прямими регресії.

Нехай (xi, yi) – спостережувані (точні) значення, а – наближені значення yi, обчислені із рівняння регресії. Тоді величина є відхиленням наближеного значення від точного yi(див. Рис. 9.16).

Рис. 9.16

За методом найменших квадратів невідомі параметри a і b прямої регресії знаходяться із умов мінімізації суми квадратів відхилень, тобто із умов мінімізації функції

Прирівнявши частинні похідні Sa¢та Sb¢ до нуля, отримаємо систему нормальних рівнянь

Розв’язавши її, знайдемо

(9.102)

Легко показати, що для значень a та b, обчислених за формулами (3.102), функція S(a, b) набуває мінімуму.

Якщо необхідно за експериментальними даними отримати лінійне рівняння регре-сії X та Y, то в рівнянні регресії y = a + bx потрібно поміняти місцями змінні x та y. При цьому одержимо рівняння x = a¢ + b ¢y,де a¢ та b ¢ обчислюються за формулами

(9.103)

Відзначимо, що регресійні прямі y = a + bx та x = a¢ + b ¢y є різними. Перша пряма отримується в результаті розв’язання задачі про мінімізацію суми квадратів відхилень по вертикалі, а друга – при розв’язанні задачі про мінімізацію суми квадратів відхилень по горизонталі.

На практиці для знаходження рівнянь регресії складається таблиця 9.15.

Таблиця 9.15

В даній таблиці в останньому рядку суми iвизначають коефіціенти a та b або a¢ та b¢ за формулами (3.102) або (3.103) відповідно.

Рівняння лінійної регресії можна побудувати, використовуючи вибірковий коефіцієнт кореляції

– рівняння прямої регресії Y на X,

– рівняння прямої регресії X на Y,

де – середні вибіркові; rx/y, ry/x– коефіціенти лінійної регресії; S0x, S0y– виправлені середні квадратичні відхилення вибірок;

; .

Прямі регресії проходять через точку . Вони збігаються, якщо .

Вибірковий коефіцієнт кореляції є середнім геометричним коефіцієнтів лінійної регресії.

Приклад 19.За даними таблиці спостережень

скласти рівняння регресії Y на X та X на Y.

Складемо таблицю 9.16.

Таблиця 9.16

За формулами (3.102) для n = 3 отримуємо

Отже, рівняння регресії Y на X буде

Аналогічно за формулами (3.103) знаходимо:

Рис.9.17

Звідси рівняння X на Y буде

Із отриманих рівнянь видно, що регресійні прямі та є дійсно різними. Побудуємо їх (див. Рис.9.17).

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
	\|	Нелінійна регресія

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.