Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Основні правила диференціювання

Теорема 1. Похідна сталої дорівнює нулю, тобто якщо у = с, де с = const, то .

Теорема 2. Похідна алгебраїчної суми скінченної кількості диференційованих функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій: .

Теорема 3. Похідна добутку двох диференційованих функцій дорівнює добутку першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого:

Теорема 4. Сталий множник можна виносити за знак похідної:

, де .

Теорема 5. Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовані функції (знаменник не перетворюється в нуль), то похідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різницею добутків знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадратом знаменника початкового дробу .

Зауваження. Похідну від функції , де , зручно обчислювати як похідну від добутку сталої величини на функцію u (x):

Приклад. Обчислити похідну для функції у = tg x.

Таким чином, .

Похідна складної функції.Нехай у = f (u), де , тобто . Функція f (u) називається зовнішньою, а функція — внутрішньою, або проміжним аргументом.

Теорема 6. Якщо у = f (u) та — диференційовані функції від своїх аргументів, то похідна складної функції існує і дорівнює .

Таким чином, похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.

Похідна неявної функції.Нехай рівняння F (x; y) = 0 визначає у як неявну функцію від х. Надалі будем вважати, що ця функція — диференційована.

Продиференціювавши за х обидві частини рівняння F (x; y) = 0, дістанемо рівняння першого степеня відносно . З цього рівняння легко знайти , тобто похідну неявної функції.

Приклад. Знайти з рівняння .

Оскільки у є функцією від х, то у² розглядатимемо як складну функцію від х, тобто .

Продиференціювавши по х обидві частини заданого рівняння, дістанемо . Звідси .

Похідна оберненої функції.Нехай задані дві взаємно обернені диференційовні функції

у = f (х) та .

Теорема 7. Похідна оберненої функції по змінній у дорівнює оберненій величині похідної від прямої функції .

Приклад. Обчислити похідну для функції .

Задана функція обернена до функції .

Згідно з теоремою 7 можна записати

Звідси .

Якщо в останньому виразі замість у записати х, то дістанемо

Похідна параметрично заданої функції. Нехай функцію від задано параметричними рівняннями:

Припустимо, що функції мають похідні і що функція має обернену функцію , яка також є диференційовною. Тоді визначену параметричними рівняннями функціональну залежність можна розглядати як складну функцію , ( — проміжний аргумент).

На підставі теорем 6 та 7 маємо:

, .

Звідки або .

Знайдена формула дає можливість знаходити похідну від параметрично заданої функції, не знаходячи явної залежності

Приклад. Функцію від задано параметричними рівняннями:

Знайти похідну : а) при будь-якому ; б) при .

а) ;

б) .

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Залежність між неперервністю і диференційованістю функції	\|	Похідні від основних елементарних функцій

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.