З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.

Нехай задано диференціальне рівняння n – го порядку, розв’язане відносно старшої похідної:

Загальний розв’язок рівняння n – го порядку має вигляд

де - довільні сталі. Якщо загальний розв’язок отримується в неявній формі

то його називають загальним інтегралом.

Рівняння виду

Щоб знайти загальний інтеграл цього рівняння, необхідно n разів проінтегрувати його ліву й праву частини. Справді, оскільки після першого інтегрування дістаємо:

де х₀ –будь-яке фіксоване значення х, а с₁– довільна стала інтегрування. Після другого інтегрування маємо:

Продовжуючи аналогічно, отримаємо загальний розв’язок

Рівняння виду

Це рівняння не містить явно у. За допомогою підстановки де - нова шукана функція, можна понизити його порядок на одиницю. Відносно отримуємо рівняння:

Аналогічний прийом дозволяє понизити порядок рівняння на k одиниць, якщо воно не містить явно ні функції у, ні її похідних до (k-1) – го порядку включно:

У цьому разі слід виконати підстановку . Зокрема, диференціальне рівняння виду

інтегрується за допомогою підстановки

Рівняння виду

Це рівняння не містить явно незалежну змінну х. Щоб понизити його порядок на одиницю, виконаємо підстановку: де р(у) –нова шукана функція. Зауважимо, що при цьому тощо. Порядок диференціального рівняння відносно р(у) дорівнює

Якщо вдається знайти його загальний розв’язок то у(х) визначається у квадратурах:

Тут с₁, с₂, …,с_n - довільні сталі.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Семінарське заняття 15	\|	Семінарське заняття 16

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.