Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Теорема множення ймовірностей незалежних подій

Вивчимо питання про незалежні події та про теорему множення для незалежних подій.

Означення. Подія В називається незалежною від події А, якщо поява події А не змінить ймовірність події В, тобто якщо умовна ймовірність події В дорівнює її безумовній ймовірності: .

Властивість незалежності подій взаємна: якщо подія В не залежить від події А, то і подія А не залежить від події В. Дійсно, оскільки і , то . Отже, .

Теорема множення ймовірностей для незалежних подій має вигляд:

Зауважимо, що коли події А та В незалежні, то будуть незалежними також події , , .

Розглянемо такі приклади.

№1. Ймовірність того, що фірма А отримає кредит, дорівнює . Для фірми В ця ймовірність дорівнює . Знайти ймовірність того, що кредит отримає тільки одна з цих двох фірм.

Розв’язок. Подія “тільки одна фірма отримає кредит” є сумою двох несумісних подій: “фірма А отримає кредит, а фірма В – ні” (перша подія) та “фірма А не отримає кредит, а фірма В – отримає” (друга подія).

Ймовірність першої з цих подій визначається як , а другої – як

Таким чином, шукана ймовірність дорівнює .

Означення. Декілька подій називаються попарно незалежними, якщо кожні дві з цих подій незалежні.

Декілька подій називаються незалежними в сукупності (або просто незалежними), якщо незалежні кожні дві з них та незалежні кожна подія та всі можливі добутки інших подій.

Виявляється, що коли декілька подій незалежні попарно, то звідси ще не випливає їх незалежність у сукупності.

Наприклад. В групі з чотирьох спортсменів один – волейболіст (подія А), один – баскетболіст (подія В), один – футболіст (подія С), а один – і волейболіст, і баскетболіст, і футболіст (подія АВС).

Знайдемо ймовірність того, що взятий навмання спортсмен – волейболіст ).

Маємо: . Обчислимо також – ймовірність того, що взятий навмання баскетболіст є волейболістом. Згідно з умовою, маємо: . Таким чином, . Аналогічно доводиться, що всі події попарно незалежні. Але, виявляється, події не є незалежними в сукупності, оскільки (якщо спортсмен є баскетболістом і футболістом, то він – ще і волейболіст) і, отже, .

Для подій, незалежних в сукупності, має місце така теорема.

Теорема. Ймовірність сумісної появи кількох подій, незалежних в сукупності, дорівнює добуткові ймовірностей цих подій:

Наприклад. Ймовірність того, що студент знає відповідь на перше питання екзаменаційного білету, дорівнює , на друге – , на третє – . Знайти ймовірність того, що студент знає відповідь тільки на одне питання екзаменаційного білету.

Розв’язування. Позначимо через А подію, яка полягає у тому, що студент знає відповідь на перше питання білету, В – на друге, С – на третє. Подію D – “студент знає відповідь тільки на одне питання” можна представити у вигляді суми трьох несумісних подій:

Згідно з теоремою додавання ймовірностей несумісних подій, маємо:

Кожну з ймовірностей у правій частині цієї рівності можна знайти, користуючись теоремою множення ймовірностей незалежних подій.

Маємо: ;

;

Отже,

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Теорема множення ймовірностей залежних подій	\|	Семінарське заняття 20

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.