• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Верхня і нижня грані дійсних чисел

Нехай дано непорожню множину дійсних чисел ( Множина називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує дійсне число таке, що для всіх є правильна нерівність .

Число при цьому називається верхньою (нижньою) межею множини . Зрозуміло, що коли -верхня (нижня) межа множини , то будь-яке число також буде верхньою (нижньою) межею.

Означення 4.Найменша верхня межа непорожньої обмеженої зверху множини дійсних чисел називається точною верхньою межею або верхньою гранню цієї множини і позначається sup .

Означення 5.Найбільша нижня межа непорожньої обмеженої знизу множини дійсних чисел називається точною нижньою межею або нижньою гранню цієї множини і позначається inf .

Наприклад, якщо , то sup =1, inf =0.

Тут верхня грань, яка дорівнює 1, належить множині а нижня грань, яка дорівнює 0, множині не належить. Коли у множині є найбільше (найменше) число , тобто таке число Î , що будь-яке число Î задовольняє нерівність

, то це число й буде верхньою (нижньою) гранню множини . Однак не в усякій непорожній обмеженій зверху (знизу) множині дійсних чисел є найбільше (найменше ) число. Наприклад, у розглянутій вище множині є найбільше число, але немає найменшого, а у множині немає ні найменшого, ні найбільшого числа.

Сформулюємо без доведення наступне твердження.

ТЕОРЕМА 1. У будь-якої непорожньої обмеженої зверху (знизу) множини дійсних чисел існує верхня (нижня) грань.

Надалі нам доведеться часто користуватися наступними двома властивостями sup і inf .

Властивість 1 . Якщо - непорожня обмежена зверху множина дійсних чисел і , то для будь-якого Î правильна нерівність і для будь-якого числа існує число Î таке, що

Властивість 2 .

1) для будь-якого Î правильна нерівність ;

2) для будь-якого числа

існує число Î таке, що

Переглядів: 455