МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
ТЕОРЕМА 1. Послідовність може мати тільки одну границю.Доведення. Припустимо, що і , при чому a≠b. Виберемо Згідно з означенням границі послідовності виконуються нерівності для для Візьмемо тепер натуральне число , більше за N1 і N2 . Отже, для n>N одночасно будуть виконуватися обидві вище написані нерівності, на основі яких одержуємо Звідси знаходимо, що , а це неможливо, якщо Таким чином, наше припущення, що послідовність може мати різні границі, привело до протиріччя. Збіжна послідовність може мати тільки одну границю. Теорема 1 доведена. ТЕОРЕМА 2. Нехай послідовності (xn) і (yn) мають відпо–відно границі a і b Тоді сума (xn+yn) (різниця (xn-- yn)) має границю, яка дорівнює , тобто .(3.7) ТЕОРЕМА 3. Нехай послідовності і мають відповідно границі і Тоді і їх добуток має границю, яка дорівнює , тобто (3.8) З теореми 3 випливають такі наслідки . 1. Сталий множник можна винести за знак границі. Справді, нехай , а має границю. Тоді .(3.9) 2. Якщо і -натуральне число, то
ТЕОРЕМА 4. Нехай послідовності і мають скінчені границі, які відповідно дорівнюють , причому Тоді і їх відношення має скінчену границю, яка дорівнює , тобто .(3.10) ТЕОРЕМА 5. Послідовність , яка має границю, є обмежена. ТЕОРЕМА 6. Нехай члени послідовностей , , при всіх значеннях задовольняють нерівності і . Тоді . Доведення. Оскільки число є границею послідовності , то згідно означення границі послідовності для будь-якого існує таке число, наприклад , що для всіх виконується або , . Аналогічно існує таке число, наприклад, , що при , . Тоді, взявши число більше за і і використавши умову теореми 6 та попередні нерівності, дістанемо при n³N, що рівносильно при n³N. Остання нерівність й доводить теорему 6. Означення. Нехай (xn) задана послідовність і (nk) - довільна зростаюча послідовність натуральних чисел, то послідовність називається підпослідовністю послідовності (xn). З означення границі послідовності випливає правильність твердження. ТЕОРЕМА 7. Якщо послідовність має границю , то й будь-яка її послідовність має ту саму границю . Справді, якщо число є границею послідовності , то для будь-якого числа в - окіл точки потрапляють всі члени цієї послідовності, починаючи з деякого номера Проте, тоді в цей окіл потрапляють і всі члени послідовності як тільки А це означає, що число є границею послідовності , тобто . Примітка 1. Враховуючи (3.8) і (3.9), маємо таке твердження: сталий множник виноситься за знак границі, тобто (3.11) Примітка 2 У вищій математиці, якщо у граничному переході вигляду (3.10) одержується дія , то кажуть, що дія допустима і в результаті одержуємо нуль. Наприклад, З другої сторони будемо вважати , якщо у граничному переході вигляду (3.10) одержується дія , , то результатом такого граничного переходу є відповідь нескінченість. Наприклад, Примітка 3. Якщо при граничних переходах (3.8)-(3.10) одержуються вирази такого вигляду: то такі вирази будемо називати невизначеними. 3.4. Деякі правила розкриття невизначеностей ( ) Наприклад, нехай потрібно знайти границі : 1) 2) 3) . Розділивши чисельник і знаменник на найвищий степінь у даних прикладах, одержуємо: 1) 2) 3) . Далі, використовуючи основні теореми про границі, і здійснюючи граничний перехід при , одержуємо такі відповіді: 1) 2) 3)
|
||||||||
|