Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Існування границі монотонної числової послідовності

ТЕОРЕМА. Якщо послідовність є монотонно зростаючою (спадною) і обмежена зверху (знизу), то вона збіжна.

Доведення. Нехай послідовність є спадною, тобто

,і нехай вона обмежена знизу, тобто існує таке число , що

Тоді множина значень послідовності (x_n) має нижню грань, яку позначимо через Покажемо, що Оскільки а є нижня грань множини значень послідовності (x_n), то для всіх її значень виконується нерівність x_n >a.

Проте, згідно з властивістю нижньої грані, яке б ми не взяли як завгодно мале додатне число ε>0 знайдеться таке натуральне число , що . Тоді, беручи до уваги те, що послідовність спадна, дістаємо нерівність як тільки або як тільки n≥N. Отже, як тільки , що доводить теорему.

Примітка 1. Слід зауважити, що ця теорема дає ознаку, за якою можна встановити тільки існування границі числової послідовності, але не можна знайти числове значення границі.

Примітка 2. Умова монотонності в розглянутій теоремі є обов’язковою. Не всяка обмежена числова послідовність (x_n) має границю. Так послідовність , Î є обмежена , але границі немає.

Приклад 1. Довести, що послідовність

збігається, тобто, що існує

Розв’язування. Доведемо, що числова послідовність (x_n) є зростаючою. Справді,

оскільки З другого боку, використовуючи формулу (суми - перших членів геометричної прогресії ) маємо

Звідси випливає, що послідовність є обмеженою.

Отже, за попередньою теоремою робимо висновок, що задана послідовність має границю.

Примітка 3. Зауважимо, що добуток послідовних натуральних чисел скорочено позначають , тобто і називають “ен факторіал”.

Приклад 2.Показати, що числова послідовність

, , Î має границю, яка дорівнює нулю.

Розв’язування. Послідовність (x_n), починаючи з певного

значення і для всіх його наступних значень, є спадною, оскільки

або .

Звідси бачимо, що як тільки , тобто , то .

Крім того, послідовність (x_n) є обмеженою знизу, бо члени цієї послідовності більші, наприклад, за нуль.

Отже, існує границя розглядуваної послідовності, причому

Справді, нехай Тоді

Перейшовши в рівності до границі, дістанемо

або .

Остання рівність можлива при a=0, що треба було довести.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Павутинна модель ринку	\|	Нескінчено малі величини та їх властивості

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.