Ряд Лорана, поняття лишків особливих точок

Нехай f(z) регулярна функція комплексної змінної Z C

Озн.1. Точку , у якій формується регулярність функції f(z), називають особливою точкою функції.

Озн.2. Особливу точку будемо називати ізольованою, якщо існує окіл m. такий, що в цьому околі немає інших особливостей окрім .

Ізольовані особливості точки класифікуються на:

- усувні (правильні) точки;

- полюсні;

- істотні особливості точки.

В основному класифікація ізольованих особливих точок покладають вигляд лоранівського розкладу функції f(z) в колі точки .

Теорема Лорана. Кожна функція f(z), однозначна і регулярна в кільці зображається і цьому кільці єдиним рядом.

головна частина правильна частина

- будь-яке коло з центром в , що лежить в середині кільця.

Головна частина ряду збігається в усіх точках частини площами, що лежать поза центру колом кільця .

Правильна частина ряду системи – ряд Тейлора, який збігається в усіх точках круга, обл. зовн. колом кільця

Озн.3. Правильної(усувної) точки. Нехай функція f(z) аналітична в колі точки . Тоді, щоб була правильною точкою необхідно і достатньо, щоб існувала скінченна границя.

Кажуть, що в m . функція f(z) має усувні особливості, якщо в її розкладі Лорана відсутня головна частина, тобто f(z) можна подати у вигляді:

Бачимо, що , а тому, якщо покладемо , тоді точка є особливою.

Озн.4. Полюси m-го порядку. Для того, щоб була полюсом m-го порядку аналітичної функції f(z) в колі , необхідно і достатньо, щоб вона була нулем порядку m функції

Кажуть, що в функція f(z) має порядоку m, якщо головна частина її ряду Лорана має скінченну кількість членів.

при чому Якщо m=1, полюс називають простим. Зрозуміло, що

Якщо - полюс.

Озн.5. Істотно особливі точки. Точки буде істотно особливою точкою аналітичної функції f(z), якщо не існує. Кажуть, що в m . функція f(z) має усувні особливості, якщо головна частина її рядку Лорана містить безмежну кількість членів.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Регулярність поняття цілої функції та її порядку, умови Коші – Рімана.	\|	Інтегральні лишки, їх обчислення та зв'язок з розкладом функції в ряд Лорана

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.