Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Правило Лопіталя.

Нехай в точці х = афункції fіgобидві нескінченно малі або нескінченно великі. Тоді їх відношення невизначене в точці х = аі в цьому випадку кажуть, що воно є невизначеністю типу або . Знаходження границі цього відношення називається розкриттям невизначеності. Найбільш простим і ефективним методом розкриття таких невизначеностей є правило Лопіталя.

Нехай функції f і g:

1) диференційовані в деякому околі точки а, завинятком, можливо, самої точки, причому в цьому околі

2) одночасно є нескінченно малими або нескінченно великими в точці а

3). існує = в, можливо і нескінченні.

Тоді існує , причому = (1)

Теорему Лопіталя коротко можна сформулювати так:

Теорема: Границя відношення двох безмежно малих або

безмежно великих функцій дорівнює границі

відношення їх похідних.

Тобто, якщо маємо невизначеність типу або , то = , якщо , а

Зауваження 1 :Якщо відношення похідних також являє собою невизначеність типу або , то можна знову і знову застосовувати правило Лопіталя, якщо це кориссно, до отримання остаточного результату.

Зауваження 2 :Невизначеність типу 0×¥ може бути приведена до типів , за допомогою перетворення

Зауваження 3 : Невизначеність типу може бути приведена до типy 0×¥ за допомогою перетворення

Зауваження 4 :Правило Лопіталя дає тільки достатню, але не необхідну умову існування границі. Границя відношення похідних може і не існувати, в той час як границя відношення функцій існує.

Наприклад , але границя відношення похідних не існує, оскільки cos x при х®¥ коливається від -1 до +1.

Приклади обчислення границь функції за правилом Лопіталя:

1). =0

2). =

= = ¼ =

При кожному застосуванні правила Лопіталя степінь чисельника буде зменшуватись на одиницю і через (k) +1 раз стане від’ємною, тобто чисельник перетвориться в безмежно малу величину (якщо k – не ціле число, якщо k – ціле, то в сталу величину ). Знаменник же буде залишатись безмежно великою величиною. Таким чином =0.

3).

4).користовуючи правило Лопіталя тричі отримаємо= = = = = = = =0

5) = = = = = = = = = 1

Теорема Коші. Якщо функції f(x) і неперервні на відрізку [а; в], диференційовані в інтервалі (а; в) , причому , х Î (а; в) , то існує така точка с Î (а; в), що

Доведення:

Введемо допоміжну функцію

F(x) =

Яку можна розглядати на відрізку [а; в], бо . У противному разі за теоремою Ролля знайшлася б точка с Î (а; в), в якій , що неможливо, бо за умовою " х Î (а; в): .Неважко пересвідчитись, що функція F(x) задовольняє всі умови теореми Ролля. Тому знайдеться точка с Î (а; в), в якій _-- = 0, звідки і випливає формула теореми Коші.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Теорема Лагранжа.	\|	Формула Тейлора.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.