Теорія Бора для воднеподібних атомів

В теорії Бора вважається, що рух електрона по стаціонарній орбіті відбувається за законами класичної механіки. Оскільки маса m електрона значно менша від маси ядра атома, можна вважати ядро нерухомим. Розмістимо ядро в початку системи координат.

Запишемо другий закон Ньютона для електрона, який обертається навколо ядра по круговій орбіті радіуса r:

. (3)

Потенціальну енергію електрона на відстані r будемо вважати рівною нулю. При таких умовах повна енергія Е електрона на відстані r від ядра буде дорівнювати

(4)

Рівняння (2), (3), (4) утворюють систему, розв’язавши яку відносно r та Е, можна знайти радіуси стаціонарних орбіт та значення енергії атома у відповідних стаціонарних станах. Для цього, виключаючи швидкість v з (2) та (3), знайдемо радіуси орбіт:

(5)

В формулі (5) кожному значенню числа n відповідає певне значення r_n радіуса стаціонарної орбіти.

Для визначення енергії E_n стаціонарних станів атома виключимо v² з рівнянь (3) та (4) і в одержане таким чином співвідношення:

підставимо замість r значення r_n з формули (5). Після очевидних перетворень приходимо до виразу:

(6)

Ми одержали дискретний ряд значень енергії – набір енергетичних рівнів атома.

При Z = 1 та n = 1 формули (5) та (6) приводять до значень r₁ та E₁ – радіуса першої, найближчої до ядра, стаціонарної орбіти в атомі водню та енергії атома водню у найнижчому енергетичному стані, який називають основним станом. Величину r₁ = 0,529· 10^–10 м називаютьборівським радіусом,а Е₁–енергієюосновного стану атома водню. Легко бачити, що, використовуючи значення r₁ та E₁, формули (5) та (6) можна подати у вигляді:

В атомній фізиці при вимірюваннях енергії користуються більш зручною, аніж джоуль, позасистемною одиницею – електрон-вольт (1 еВ = 1,6· 10^–19 Дж). В цих одиницях Е₁ = – 13,6 еВ.

Отже, радіуси стаціонарних орбіт, а такоженергетичні рівні атома водню та будь-якого воднеподібного атома легко розраховуються через борівський радіус та енергію основного стану атома водню.

Від’ємні значення енергії стаціонарних станів обумовлені вищезгаданим способом відліку потенціальної енергії електрона в полі ядра.

1.3 Спектри випромінювання воднеподібних атомів.
Формула Бальмера – Рідберга

Для визначення частот спектральних ліній випромінювання воднеподібних атомів звернімося до рівняння частот (див. другий постулат). Підставимо в (1) замість величин Е_к та Е_n їхні значення згідно (6). Одержимо:

Скориставшись співвідношенням між частотою та довжиною хвилі (с – швидкість світла у вакуумі), останню формулу можна перетворити до вигляду:

або

(7)

де

(8)

Величина R називається сталою Рідберга (R = 1,097· 10⁷м^–1).

Формула (7), одержана Бором теоретично, була встановлена експериментально у 1885 р. за результатами спектральних вимірювань і відома як формула Бальмера – Рідберга.

Для з’ясування деяких важливих понять, які використовуються при обговоренні атомних спектрів випромінювання, розглянемо діаграму енергетичних рівнів атома водню (рисунок 1, а). Дискретні значення енергії атома Е_1, Е₂, … показані на схемі горизонтальними лініями. Згідно (5) та (6), чим більше n, тим далі від ядра знаходиться електрон і тим вище лежить відповідний рівень енергії на діаграмі. Загалом в атомі існує нескінченна кількість можливих стаціонарних станів між основним рівнем Е₁ = –13,6 еВ і рівнем Е_∞ = 0, який відповідає стану іонізації атома водню (при n радіус r_n). Енергію іонізації водню Е_і, тобто мінімальну енергію, потрібну для вилучення електрона з атома водню, який перебував в основному стані, легко знайти:

Е_і = Е – Е₁; Е_і = – Е₁ = 13,6 еВ.

Область енергій Е < 0 на діаграмі відповідає електрону, який знаходиться на одній з стаціонарних орбіт в атомі, тобто перебуває у зв’язаному стані. В цій області енергія електрона змінюється дискретно. В області енергій Е > 0 електрон втрачає зв’язок з ядром атома, стає вільним електроном, і його енергія може набувати довільних значень.

При відсутності зовнішніх впливіватом перебуває в основному стані. Всі енергетичні рівні атома, крім основного, називаються збудженими, оскільки для переходу на них атому необхідно надати певну енергію = Е_n – Е₁ – енергію збудження. Таку енергію атом може одержати, поглинувши квант випромінювання відповідної частоти від зовнішнього джерела (радіаційне збудження), або внаслідок непружного зіткнення з іншим атомом або електроном (збудження ударом). Час існування атома в збуджених станах (час життя) t ~ 10^–8 с, після чого атом сам собою (спонтанно) переходить на один з розташованих нижче енергетичних рівнів, висвітлюючи квант випромінювання, частота якого, згідно (7), залежить від номерів к та n верхнього та нижнього рівнів.

Спектр атома водню поділяється на відокремлені групи спектральних ліній, які мають схожий вигляд, але розташовані в різних областях довжин хвиль. Такі групи називають спектральними серіями. В спектрі випромінювання лінії даної спектральної серії виникають при всіх квантових переходах з різних початкових збуджених рівнів на один, спільний, кінцевий рівень і “сходяться” до границі серії, яка має мінімальну для даної серії довжину хвилі (рисунок 1, б). Кожна серія починається з головної лінії – першої і найбільш яскравої спектральної лінії в даній серії. Перші три серії спектра водню такі:

Серія Лаймана була відкрита у 1906 р. в ультрафіолетовій області спектра. Спектральні лінії серії Лаймана виникають при переходах атома з будь-яких збуджених станів у основний стан. У формулі (7) цим переходам відповідають значення n = 1 та к = 2, 3, …

Серія Бальмера відкрита першою у 1885 р. Утворена переходами атома на перший збуджений енергетичний рівень n = 2 з усіх розташованих вище рівнів (к = 3, 4, …). Серія Бальмера починається у видимій області і закінчується у ближній ультрафіолетовій області

Серія Пашена (n = 3, к = 4, 5, …) відкрита у 1908 р. і лежить у інфрачервоній області спектра.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Постулати Бора. Походження лінійчатих спектрів	\|	ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА ЧАСТИНА

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.