Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Контрольна робота

з навчальноїдисципліни “Вища математика ”

Виконавла:

Студентка 30 – Б групи 2 курсу

Подніжна Віта Миколаївна

Домашня адреса та телефон_________

________________________________

Контрольна робота надійшла:_______

Отримав:___________

Перевірив:___________

Оцінка___________

Викладач___________

Рівне 2015 р.

Теоритичні питання:

1. Теорема Крамера

ТЕОРЕМА (Крамера). Якщо головний визначник Δ квадратної системи лінійних рівнянь (1) не дорівнює нулю, то система має єдиний розв’язок, який знаходиться за правилом:

(2)

Формули (2)називаються формулами Крамера.

Доведення. Позначимо через A_ij (i,j= ) алгебраїчне доповнення елемента α_ij визначника Δ.

Домножимо перше рівняння системи (1) на A₁₁, друге рівняння – на А₂₁ і, продовжуючи так далі, n-е рівняння системи домножимо на А_n₁. Додамо одержані рівняння. Отримаємо рівняння, яке є наслідком системи:

(α₁₁A₁₁+α₂₁A₂₁+…+α_n₁A_n₁)x₁+(α₁₂A₁₁+α₂₂A₂₁+…+α_n₂A_n₁)x₂+…+(α₁_nA₁₁+α₂nA₂₁+…+α_nnA_n₁)x_n=β₁A₁₁+β₂A₂₁+...+β_nA_n1.

У цьому визначнику коефіцієнтом при змінній x₁, є розклад визначника Δ за елементами першого стовпчика. Отже, цей коефіцієнт дорівнює Δ. Коефіцієнтом при x_j при j≠1 є сума добутків елементів j-го стовпчика визначника Δ на алгебраїчні доповнення першого стовпчика. За наслідком 2 теореми про розклад визначника, ця сума дорівнює нулю. Таким чином, в одержаному рівнянні коефіцієнти при х₂, х₃, ..., х_n дорівнюють нулю. Вільний член є розкладом визначника Δ₁ за елементами першого стовпчика. Отже рівняння має вигляд:

Δx₁= Δ₁

Далі, аналогічно, перше рівняння в системі (1) помножаємо на А₁₂, друге рівняння – на А₂₂ і, продовжуючи цей процес, n-е рівняння помножаємо на А_n₂. додамо всі рівняння і одержуємо рівняння

Δx₂= Δ₂.

Кожен крок процесу полягає в тому, що одержується рівняння, з якого виключаються всі змінні крім однієї. Виконавши n кроків, отримаємо систему лінійних рівнянь, яка є наслідком системи (1)

Δx₁= Δ₁

Δx₂= Δ₂ (3)

……….

Δx_n= Δ_n

Зрозуміло, що всі розв’язки системи лінійних рівнянь (1), якщо вони існують, є розв’язками і системи (3). За умовою теореми Δ≠0, тому система рівнянь (3) має єдиний розв’язок

Це означає, що система рівнянь (1) має не більше одного розв’язку. Для доведення теореми залишається перевірити, що одержаний розв’язок системи (3) є розв’язком системи (1). Підставимо значення х₁, х₂, …, х_n в і-е рівняння системи і при цьому кожен визначник Δ_і (і= ) розкладемо за елементами і-го стовпчика:

α_i₁x₁+α_i₂x₂+…+α_iix_i+…+α_inx_n=α_i₁Δ₁/Δ+α_i₂Δ₂/Δ+…+α_inΔ_n/Δ=

= (α_i₁Δ₁+α_i₂Δ₂+…++α_iiΔ_i+…+α_inΔ_n)=

= (α_i₁(β₁A₁₁+β₂A₂₁+…β_iA_i₁+…+β_nA_n₁)+α_i₂(β₁A₁₂+β₂A₂₂+…+β_iA_i₂+…+β_nA_n₂)+ …+α_ii(β₁A₁_i+β₂A₂_i+…+β_iA_ii+…+β_nA_ni)+…+α_in(β₁A₁_n+β₂A₂_n+...…+β_iA_in+…+β_nA_nn))=

(β₁(α_i1A₁₁+α_i2A₁₂+…α_iiA_1i+…α_inA_1n)+β₂(α_i1A₂₁+α_i2A₂₂+..…+αiiA_2i+…+α_inA_2n)+…+

+β_i(α_i1A_i1+α_i2A_i2+…+α_iiA_ii+…+α_inA_in)+…+β_n(α_i1A_n1+α_i2A_n2+α_iiA_ni+…+α_inA_nn))=

= (β₁0+β₂0+…+β_iΔ+…+β_n0)= β_iΔ=β_i

(Тут ми скористалися тим, що в дужках коефіцієнтом при β_i є розклад визначника Δ за елементами і-го рядка, а коефіцієнтом при β_j при j≠i є сума добутків елементів і-го рядка визначника Δ на алгебраїчні доповнення j-го рядка).

Отже, одержаний розв’язок системи рівняння (3) задовольняє і-му рівнянню системи (1), тобто розв’язок системи (3)

є розв’язком системи (1) і цей розв’язок єдиний. Теорему доведено.

36. Похідні та диференціали вищих порядків

Нехай функція диференційовна на проміжку X, а - її похідна, яка також є функцією відносно x. Від цієї функції знову можна шукати похідну за умови, що вона існує на заданому проміжку. Похідна від похідної називається похідною другого порядку (second-order derivative) функції і позначається одним із символів.

Так у фізиці, якщо - закон, за яким змінюється пройдений шлях при прямолінійному русі точки, то є прискоренням (acceleration) цієї точки в момент часу t.

Аналогічно і т. д.

Взагалі похідною n-го порядку від функції називається похідна від похідної -го порядку і позначається

, або , або .

Зауваження. При , похідну n-го порядку позначають відповідно ; при позначають: або .

Формула Лейбніца. Якщо функції , мають похідні до n-го порядку включно, то для обчислення похідної n-го порядку від добутку цих функцій використовують формулу Лейбніца:

Похідні вищих порядків від функцій, заданих параметрично. Якщо функції і параметрично задають функцію , то похідні , , можна послідовно обчислити за формулами:

, і т. д.

Так, для похідної другого порядку має місце формула:

Диференціали вищих порядків. Нехай функція диференційовна на проміжку X. Її диференціал

називається також диференціалом першого порядку і його можна розглядати як функцію змінної x(приріст аргументу вважається сталим).

Означення 3.4. Диференціалом другого порядку (second differential)функції в точці xназивається диференціал від її диференціала першого порядку (за умови, що повторний приріст незалежної змінної x збігається з попереднім ) і позначається :

За означенням маємо:

позначають . Таким чином

Аналогічно, диференціалом n-го порядку (позначається ), n=2,3,... називається диференціал від диференціала порядку за умови, що в диференціалах весь час беруться одні й ті самі прирости незалежної змінної x. Тобто

При цьому справедлива формула:

Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду.

Степеневий ряд.

Степеневим рядом, називається функціональний ряд вигляду

а+ а х +a X2+...+ а x +...= а х (28)

a , a … a - дійсні числа, які називаються коефіцієнтами ряду.

Степеневим рядом за степенями двочлена х — хо, де x - дійсне число, називають функціональний ряд вигляду:

а a (x-x )+ ... +а (х-х ) + …= (29)

Ряд (29) заміною змінної х- х = t зводиться до ряду вигляду (28), тому надалі розглядатимемо лише степеневі ряди вигляду (28).

Всякий степеневий ряд вигляду (28) збіжний в точці х = 0 до суми S = а . Тому область збіжності степеневого ряду завжди містить принаймні одну точку.

а +а х + а x + ... a x + ... абсолютно і рівномірно збіжний на будь-якому відрізку /—р; р], який цілком міститься в інтервалі збіжності (- R, R).

За умовою р < R. Візьмемо точку Хо Є (р; R). За теоремою Абеля:

ряд збіжний. Для довільної точки х є 1- р, р] виконується нерівність

, тому за ознакою Вейєрштрасса ряд (28) абсолютно і рівномірно збіжний.

З цієї властивості і властивостей 1°—3° функціональних рядів (п. 2.1) випливають такі твердження:

1°. Сума степеневого ряду (28) неперервна всередині його інтервалу збіжності.

2°. Якщо межі інтегрування а та Ь лежать всередині інтервалу збіжності (—R; R)-ряду (24), .то на відрізку |а; Ь| цей ряд можна почленно інтегрувати.

Зокрема, якщо ряд (28) інтегрувати по відрізку [0; х], де / х /< R, то в результаті дістанемо степеневий ряд, який має той самий інтервал збіжності, що і ряд (28); при цьому, якщо S (х) — сума ряду (28):

S(x) =

3°. Якщо ряд (28) має інтервал збіжності (— R; R), то ряд, утворений диференціюванням ряду (28), має той самий інтервал збіжності (— R; R) ; при цьому, якщо S (х) — сума ряду (28), то:

S(x)= є (-R; R).

Таким чином, ряд (28) на відрізку [0; х], \ х < R, можна інтегрувати і диференціювати скільки завгодно раз в будь-якій точці х є (— R; R) При цьому інтервалом збіжності кожного ряду є той самий інтервал (-R, R).

Сформульовані властивості степеневих рядів широко використовуються в теоретичних дослідженнях і наближених обчисленнях.

Приклад:

Знайти суму даного ряду:

Позначимо суму даного ряду через S (х), тоді:

S(x)=

Цю суму можна розглядати як геометричну прогресію з першим членом a = 1 і знаменником q = —x2. Знайшовши суму прогресії, дістанемо:

S (x)=

Інтегруючи цю рівність на відрізку , маємо:

Звідки:

2. Теорема Абеля.

Якщо степеневий ряд (28) збіжний при х = х , то він абсолютно збіжний для всіх значень х, що задовольняють нерівність \х\< . Якщо при х-x ряд (28) розбіжний, то він розбіжний всюди, де О Оскільки за умовою ряд (28) збіжний в точці Х . то збіжним є числовий ряд отже, a -»- 0 при п -> оо. Звідси випливає, що : п=0, послідовність (а x ) обмежена, тобто існує таке число М, що:

п =0,1,2,....

Тобто модуль кожного члена ряду (28) не перевищує відповідного члені збіжної геометричної прогресії. Тоді за ознакою порівняння при ряд (28) абсолютно збіжний. Нехай тепер ряд розбіжний, при х = х Тоді ряд (28) буде розбіжним і для всіх х, що задовольняють нерівність / х / >/ х /. Справді, якби припустити, що він збіжний в якій-небудь точці х, що

задовольняє цю нерівність, то за доведеним він був би збіжним і в точці А/ бо І хі І < І х . А це суперечить тому, що в точці хі ряд розбіжний.

Теорема Абеля характеризує множини точок збіжності та розбіжності степеневого ряду. Дійсно, якщо Хо точка збіжності ряду (28), то весь інтервал (— ) заповнено точками абсолютної збіжності цього ряду . Якщо x — точка розбіжності ряду (28), то вся нескінченна напівпряма ( — оо; — хі)) зліва від точки — | х, і вся нескінченна напівпряма (| х |; + оо) справа від точки | х, 1 складається з точок розбіжності цього ряду. Отже, для області збіжності степеневого ряду можливі три випадки: 1) ряд (28) збіжний лише в точці х = 0; 2) ряд (28) збіжний при всіх х є (_ -оо; + 00); 3) існує таке скінченне число R є (0;+ 00), що при 1 х І < R степеневий ряд абсолютно збіжний, а при [ х \ > R — розбіжний.

Число R називають радіусом збіжності степеневого ряду, а інтервал ( — R; R) — інтервалом збіжності.

Вкажемо спосіб визначення радіуса збіжності степеневого ряду. Складемо ряд із модулів членів ряду (28) п=0.

Припустимо, що існує границя

lim x Згідно з ознакою Д'Аламбера, ряд (28) є абсолютно збіжним при LI х I < 1, або 1 х I < розбіжним при L І х І > 1, або | х \ > .

Отже, інтервал ( ; ) є інтервалом абсолютної збіжності ряду (28), а число

r = =

його радіусом збіжності. Аналогічно скориставшись ознакою Коші, можна встановити, що: R=[im

Зауваження 1. Неважко переконатись, що коли L=lim або L= lim ,то ряд (28) є абсолютно збіжним на всій числовій осі. У цьому разі вважають R = + 00. Якщо ж L = о, то R = 0, і степеневий ряд має лише одну точку збіжності х = 0.

Зауваження 2. Питання про збіжність ряду при х = ± R (на кінцях інтервалу збіжності) розв'язується для кожного ряду окремо. Таким чином, область збіжності степеневого ряду може відрізнятись від інтервалу

(—R; R) не більше ніж двома точками х = ± R.

Зауваження 3. Радіус збіжності ряду (29) визначається за тими самими формулами (ЗО) і (31), що і ряду (28).

Інтервал збіжності ряду (29) знаходять з нерівності / х хо/ <R, тобто має вигляд (хо — R; хо -R).

Зауваження4. На практиці інтервал збіжності степеневого ряду часто знаходять за ознакою Д'Аламбера або ознакою Коші, застосовуючи їх до ряду, складеного з модулів членів заданого ряду.

3. Проміжок збіжності степеневого ряду. Степеневим рядом називається функціональний ряд вигляду а0 + а1 (х - х0) + а2(х - х0)2 + ... + аn (х - х0)n + ... , або, що те саме, де аn, n = 1, 2, ..., — сталі дійсні числа, які називаються коефіцієнтами степеневого ряду, а х0 —довільне фіксоване дійсне число.

Теорема 1. (теорема Абеля). Якщо степеневий ряд збігається в точці , 0, то він абсолютно збігається в будь-якій точці х, для якої |х| < | |.

Із збіжності ряду

випливає, що його загальний член прямує до 0 при n ( , а отже, послідовність (аn n) обмежена, тобто існує таке М R, що

(1)

Візьмемо тепер будь-яке х, для якого |х|( | |, й утворимо ряд

(2)

Оскільки

n = 1, 2, ... ,

і члени ряду (2) не перевищують відповідних членів збіжної геометричної прогресії (зі знаменником | |(1:

за першою порівняльною ознакою збіжності додатних рядів, ряд збіжний. У такому випадку, як відомо, ряд абсолютно збіжний, що й потрібно було довести.

У точці х = 0 збігається, очевидно, будь-який ряд). Проте є степеневі ряди, які, крім того, не збігаються в жодній точці х. Прикладом такого скрізь розбіжного ряду може служити ряд

1!х + 2!х2 + ... + n !хn + ...,

оскільки в цьому легко переконатися за допомогою ознаки Д'Аламбера (проробіть це самі). Подібні ряди не становлять інтересу.

Припустимо, що для ряду (1) серед точок , в яких він збігається, є й відмінні від 0. Розглянемо множину {| |}; вона або обмежена зверху, або необмежена.

В останньому випадку, яку б точку х не взяти, знайдеться така точка х, що |х| < | |, а тоді за теоремою Абеля ряд абсолютно збігається в узятій точці х. Ряд виявляється скрізь збіжним, тобто збіжним на R.

Нехай тепер множина {|х|} обмежена зверху. Ця множина має верхню грань: R = sup{|x|}. Зрозуміло, що 0 < R < + . Якщо |х| > R, то ця точка х відрізняється від усіх х, і ряд розбігається в точці х. Візьмемо тепер довільну точку х, для якої |х| < R.

Існує така точка х, що |х| < | | ( R; а це за теоремою Абеля знову зумовлює абсолютну збіжність ряду.

Таким чином доведено таке твердження.

Теорема 2. Для кожного степеневого ряду, якщо тільки він не є скрізь розбіжним, існує таке додатне число R (воно може бути також + ), що ряд абсолютно збігається в інтервалі (-R; R) і розбігається в будь-якій точці х, для якої |х| > R (якщо R < + ). При цьому число R та інтервал (-R; R) називаються відповідно радіусом й інтервалом збіжності степеневого ряду.

Тим самим вирішено питання про область збіжності X ряду: вона є суцільним проміжком від -R до R; лише про кінці його (якщо R < + ) не можна зробити загального висновку: як побачимо нижче, в цих точках ряд може як збігатись (абсолютно чи умовно), так і розбігатись. Проміжок X називається проміжком збіжності ряду.

Для скрізь розбіжного ряду вважають R = 0; його проміжок збіжності зводиться до точки х = 0.

Приклади

1. Знайти проміжок збіжності ряду

Спочатку знайдемо інтервал збіжності цього ряду. Оскільки степеневий ряд в інтервалі збіжності збігається абсолютно, для знаходження цього інтервалу скористаємося достатньою ознакою Коші абсолютної збіжності числового ряду.

Маємо

Отже, ряд збігається, якщо < 1, і розбігається, якщо > 1. Радіус збіжності досліджуваного ряду R = 10, а його інтервалом збіжності є інтервал (-10; 10).

З'ясуємо тепер поведінку ряду на кінцях проміжку (-10; 10). Підставивши в заданий ряд замість х число 10, дістанемо гармонічний ряд

а він розбіжний. Отже, в точці х = 10 даний ряд розбігається.

При х = -10 матимемо числовий знакопереміжний ряд

який умовно збіжний (за теоремою Лейбніца).

Таким чином, проміжком збіжності заданого ряду є [-10; 10).

2. Знайти проміжок збіжності ряду

Скористаємось ознакою Д'Аламбера. Маємо

для будь-якого х R. Оскільки 0 < 1, досліджуваний ряд збігається в будь-якій точці x R.

Отже, проміжком збіжності заданого ряду є інтервал (- ; + ).

3. Знайти проміжок збіжності ряду

Цей приклад читач розв'яже самостійно; ми обмежимося відповіддю: тут радіус збіжності R = 1; проміжком збіжності є відрізок [-1; +1], ряд збігається абсолютно також при х = ±1.

Усе викладене стосується також степеневого ряду вигляду лише роль точки 0 відіграє точка х0: проміжок збіжності має кінці х0 - R та х0+ R (зі включенням кінців чи ні залежно від випадку).

Практичні завдання

Завдання 1.Розв’язати систему рівнянь:

Розв'язок:

Перепишемо систему рівнянь в матричному вигляді і розв'яжемо її методом Гауса

		-3
-1
	-2

від 2; 3 рядків віднімаємо 1 рядок, помножений відповідно на 2; 3

			-3
	-3		-7
	-2		-11

2-ий рядок ділимо на -3

		-3
	-7/3	7/3
-2		-11

від 1; 3 рядків віднімаємо 2 рядок, помножений відповідно на 1; -2

	-2/3	11/3
-7/3	7/3
7/3	-19/3

3-ий рядок ділимо на 7/3

	-2/3	11/3
-7/3	7/3
	-19/7

від 1; 2 рядків віднімаємо 3 рядок, помножений відповідно на -2/3; -7/3

				13/7
			-4
			-19/7

Відповідь:

	x₁ = 13/7
x₂ = -4
x₃ = -19/7

Завдання 2. Скласти рівняння прямої, що проходить через

9). А(1;3), В(4;1).

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.021 сек.